Statistiques : médiane, étendue et interprétation
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Statistiques
Moyenne, médiane, étendue : les trois indicateurs
Faire des statistiques, c'est résumer une longue liste de nombres par quelques indicateurs qui en disent l'essentiel. En 3e, tu dois en maîtriser trois : la moyenne et la médiane, qui indiquent où se situe le « centre » de la série, et l'étendue, qui dit si les valeurs sont serrées ou très éparpillées.
| Indicateur | Ce qu'il mesure | Comment on le calcule |
|---|---|---|
| Moyenne | position (le centre « de masse ») | somme des valeurs / effectif total |
| Médiane | position (la valeur du milieu) | on range, puis on prend le milieu |
| Étendue | dispersion (l'éparpillement) | maximum - minimum |
Calculer une médiane sans se tromper
Statistiques
Séries en tableau, fréquences et interprétation
Au brevet, les données sont rarement données en vrac : elles arrivent presque toujours dans un tableau d'effectifs. Il faut alors savoir lire ce tableau, calculer une moyenne pondérée, retrouver la médiane sans réécrire toute la liste, et surtout interpréter les résultats avec une phrase claire.
Lire un tableau d'effectifs
| Note obtenue | 8 | 10 | 12 | 15 | Total |
|---|---|---|---|---|---|
| Effectif (nombre d'élèves) | 2 | 3 | 4 | 1 | 10 |
| Fréquence | 0,2 | 0,3 | 0,4 | 0,1 | 1 |
| Fréquence en % | 20 % | 30 % | 40 % | 10 % | 100 % |
L'effectif d'une valeur, c'est le nombre de fois où elle apparaît. Sa fréquence, c'est cet effectif divisé par l'effectif total : elle répond à la question « quelle part du groupe ? ». Une fréquence est toujours comprise entre 0 et 1, et la somme de toutes les fréquences fait toujours 1, soit 100 %.
Interpréter : que raconte chaque indicateur ?
- Si moyenne et médiane sont proches, la série est plutôt équilibrée.
- Si la moyenne est nettement supérieure à la médiane, quelques valeurs très grandes tirent la moyenne vers le haut.
- Si la moyenne est nettement inférieure à la médiane, ce sont quelques valeurs très petites qui la tirent vers le bas.
- Deux séries peuvent avoir la même moyenne et des étendues très différentes : c'est l'étendue qui dit si les valeurs sont régulières ou irrégulières.
- La médiane est peu sensible aux valeurs extrêmes ; la moyenne et l'étendue le sont beaucoup.
Exercices corrigés
Que faut-il faire IMPÉRATIVEMENT avant de déterminer une médiane ?
- A.Ranger les valeurs dans l'ordre croissantBonne réponse
- B.Calculer d'abord la moyenne de la série
- C.Supprimer les valeurs qui se répètent
- D.Calculer l'étendue de la série
Réponse : A — Ranger les valeurs dans l'ordre croissant
La médiane est la valeur du milieu de la série RANGÉE : sans classement préalable, la « valeur du milieu » de la liste ne veut rien dire. Attention, il ne faut surtout pas supprimer les répétitions : si trois élèves ont 10, la valeur 10 doit apparaître trois fois dans la liste rangée, sinon l'effectif change et la médiane aussi.
Voici les températures relevées une semaine : -3 °C ; 5 °C ; -8 °C ; 12 °C ; 0 °C. Quelle est l'étendue ?
- A.4 °C
- B.12 °C
- C.20 °CBonne réponse
- D.8 °C
Réponse : C — 20 °C
Le maximum est 12 °C et le minimum est -8 °C. L'étendue vaut donc 12 - (-8) = 12 + 8 = 20 °C. Le piège est classique : soustraire un nombre négatif revient à ajouter son opposé. Répondre 4 °C, c'est avoir calculé 12 - 8 en oubliant le signe moins du minimum. Un contrôle visuel aide : sur une droite graduée, il y a bien 20 graduations entre -8 et 12.
Dans un collège de 200 élèves, la taille médiane est de 158 cm. Que peut-on affirmer ?
- A.Tous les élèves mesurent environ 158 cm
- B.La taille moyenne est aussi de 158 cm
- C.L'élève le plus grand mesure 158 cm
- D.Au moins la moitié des élèves mesurent 158 cm ou moinsBonne réponse
Réponse : D — Au moins la moitié des élèves mesurent 158 cm ou moins
Par définition, la médiane partage la série en deux groupes de même effectif : au moins 100 élèves mesurent 158 cm ou moins, et au moins 100 mesurent 158 cm ou plus. La médiane ne dit rien sur la moyenne (elle peut en être très éloignée), rien sur le maximum, et surtout rien sur la dispersion : les élèves peuvent mesurer entre 135 et 190 cm avec cette même médiane.
Sur 40 élèves interrogés, 14 pratiquent le football. Quelle est la fréquence, en pourcentage, des élèves qui pratiquent le football ?
- A.35 %Bonne réponse
- B.14 %
- C.26 %
- D.40 %
Réponse : A — 35 %
La fréquence est l'effectif divisé par l'effectif total : 14/40 = 0,35, soit 35 %. Vérification : 35 % de 40 vaut 0,35 × 40 = 14, c'est cohérent. Répondre 14 %, c'est confondre l'effectif avec le pourcentage. Répondre 26 %, c'est utiliser les 26 élèves qui NE pratiquent PAS le football (ce qui donnerait d'ailleurs 65 %, pas 26 %).
Une série de quatre nombres est 6 ; 9 ; x ; 15 et sa moyenne vaut 11. Que vaut x ?
- A.11
- B.12
- C.14Bonne réponse
- D.13
Réponse : C — 14
Si la moyenne de 4 nombres vaut 11, alors leur somme vaut 11 × 4 = 44. Or 6 + 9 + 15 = 30, donc x = 44 - 30 = 14. Vérification : (6 + 9 + 14 + 15)/4 = 44/4 = 11. Répondre 11, c'est croire que la valeur manquante est forcément égale à la moyenne, ce qui n'arrive que par hasard. La bonne méthode consiste toujours à remonter à la SOMME totale.
On considère la série 4 ; 7 ; 7 ; 9 ; 10 ; 13 ; 18. Quelle affirmation est exacte ?
- A.La médiane vaut 9 et l'étendue vaut 18
- B.La médiane vaut 7 et l'étendue vaut 14
- C.La médiane vaut 9,7 environ et l'étendue vaut 14
- D.La médiane vaut 9 et l'étendue vaut 14Bonne réponse
Réponse : D — La médiane vaut 9 et l'étendue vaut 14
La série est déjà rangée et contient N = 7 valeurs, donc la médiane est celle de rang (7 + 1)/2 = 4, c'est-à-dire 9. L'étendue vaut 18 - 4 = 14. Attention : 18 est le maximum, pas l'étendue. Et 9,7 environ correspond à la moyenne (68/7), qui est ici légèrement supérieure à la médiane à cause de la valeur 18, plus élevée que les autres.
Deux classes ont exactement la même moyenne de 12, mais l'étendue vaut 6 en classe A et 16 en classe B. Que peut-on en conclure ?
- A.Les résultats sont plus dispersés en classe B qu'en classe ABonne réponse
- B.La classe B a de meilleurs résultats que la classe A
- C.La classe A compte plus d'élèves que la classe B
- D.Les deux classes ont forcément la même médiane
Réponse : A — Les résultats sont plus dispersés en classe B qu'en classe A
L'étendue mesure la dispersion : avec 16 au lieu de 6, l'écart entre le meilleur et le moins bon résultat est bien plus grand en classe B, donc les résultats y sont plus hétérogènes. En revanche, elle ne dit rien sur le NIVEAU (les moyennes sont identiques), rien sur l'effectif, et rien sur la médiane : deux séries de même moyenne peuvent avoir des médianes très différentes.
Quelle est l'étendue de la série 4 ; 7 ; 12 ; 3 ; 9 ?
- A.3
- B.12
- C.9Bonne réponse
- D.7
Réponse : C — 9
L'étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur : ici 12 - 3 = 9. Répondre 12 ou 3, c'est donner le maximum ou le minimum sans faire la soustraction. Répondre 7 serait la médiane de cette série une fois rangée (3 ; 4 ; 7 ; 9 ; 12), pas son étendue.
Que représente la médiane d'une série statistique ?
- A.Une valeur qui partage la série rangée en deux groupes de même effectifBonne réponse
- B.La valeur la plus fréquente de la série
- C.La somme des valeurs divisée par leur nombre
- D.L'écart entre la plus grande et la plus petite valeur
Réponse : A — Une valeur qui partage la série rangée en deux groupes de même effectif
La médiane sépare la série rangée en deux moitiés de même effectif : au moins 50 % des valeurs lui sont inférieures ou égales, et au moins 50 % lui sont supérieures ou égales. La somme divisée par l'effectif, c'est la moyenne ; l'écart entre les extrêmes, c'est l'étendue ; la valeur la plus fréquente porte un autre nom (le mode) et n'a rien à voir avec la médiane.
Quelle est la médiane de la série 3 ; 5 ; 8 ; 9 ; 12 ?
- A.5
- B.8Bonne réponse
- C.7,4
- D.9
Réponse : B — 8
La série est déjà rangée et contient N = 5 valeurs, un nombre impair. La médiane est donc la valeur de rang (5 + 1)/2 = 3, c'est-à-dire 8. Vérification : deux valeurs avant (3 et 5), deux valeurs après (9 et 12), l'équilibre est bon. Le nombre 7,4 est la MOYENNE de cette série (37/5), pas sa médiane : ne confonds pas les deux indicateurs.
Quelle est la moyenne de la série 12 ; 15 ; 9 ; 16 ?
- A.52
- B.12,5
- C.14
- D.13Bonne réponse
Réponse : D — 13
On additionne : 12 + 15 + 9 + 16 = 52. On divise par l'effectif, 4 : 52/4 = 13. Répondre 52, c'est oublier la division. Répondre 12,5 ou 14 vient d'une erreur d'addition — refais la somme deux fois, en groupant par exemple 12 + 16 = 28 puis 15 + 9 = 24, ce qui donne bien 28 + 24 = 52.
Que mesure l'étendue d'une série statistique ?
- A.La position du centre de la série
- B.Le nombre de valeurs de la série
- C.La dispersion, c'est-à-dire l'écart entre les valeurs extrêmesBonne réponse
- D.La valeur qui revient le plus souvent
Réponse : C — La dispersion, c'est-à-dire l'écart entre les valeurs extrêmes
L'étendue est un indicateur de DISPERSION : elle dit si les valeurs sont serrées ou éparpillées. Une petite étendue signifie des valeurs régulières, une grande étendue signale des écarts importants. La moyenne et la médiane sont, elles, des indicateurs de POSITION. Le nombre de valeurs s'appelle l'effectif total.
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