Les racines carrées

Exercices corrigés

1. Que vaut (√13)² ?

   • A.169
   • B.26
   • C.13Bonne réponse
   • D.√13

   Réponse : C — 13

   Par définition même de la racine carrée, élever √a au carré redonne a : (√13)² = 13. Le carré et la racine carrée sont deux opérations inverses l'une de l'autre. Répondre 169, c'est calculer 13² au lieu de (√13)² ; répondre 26, c'est multiplier par 2 au lieu d'élever au carré.

2. Comment définit-on correctement √25 ?

   • A.C'est le nombre 25 divisé par 2
   • B.Ce sont les deux nombres 5 et −5
   • C.C'est n'importe quel nombre dont le carré vaut 25
   • D.C'est le nombre positif dont le carré vaut 25Bonne réponse

   Réponse : D — C'est le nombre positif dont le carré vaut 25

   La racine carrée d'un nombre positif a est l'unique nombre POSITIF dont le carré vaut a. Ici √25 = 5, et seulement 5. Il ne faut pas confondre avec l'équation x² = 25, qui elle admet deux solutions, 5 et −5 : le symbole √ ne désigne toujours que la valeur positive.

3. Que vaut √100 × √4 ?

   • A.20Bonne réponse
   • B.40
   • C.400
   • D.104

   Réponse : A — 20

   Deux chemins mènent au même résultat. Directement : √100 = 10 et √4 = 2, donc le produit vaut 10 × 2 = 20. Ou avec la propriété √a × √b = √(ab) : √100 × √4 = √400 = 20. Répondre 400, c'est oublier de prendre la racine à la fin ; répondre 104, c'est additionner 100 et 4 sous la racine, ce qui n'a pas de sens ici.

4. Quelle est la forme simplifiée de √50 ?

   • A.5√2Bonne réponse
   • B.25√2
   • C.2√5
   • D.10√5

   Réponse : A — 5√2

   On cherche le plus grand carré parfait qui divise 50 : c'est 25. Donc √50 = √(25 × 2) = √25 × √2 = 5√2. Vérification : (5√2)² = 25 × 2 = 50, c'est bien cohérent. Répondre 25√2 est impossible : (25√2)² vaudrait 1 250, bien trop grand.

5. Quelle est la forme simplifiée de √12 ?

   • A.3√2
   • B.4√3
   • C.6√2
   • D.2√3Bonne réponse

   Réponse : D — 2√3

   Le plus grand carré parfait qui divise 12 est 4 : √12 = √(4 × 3) = √4 × √3 = 2√3. Vérification : (2√3)² = 4 × 3 = 12. Le piège est d'intervertir les rôles et d'écrire 3√2, dont le carré vaudrait 9 × 2 = 18 : c'est le nombre à faire sortir de la racine (celui du carré parfait) qui passe devant.

6. Entre quels entiers consécutifs se situe √30 ?

   • A.entre 3 et 4
   • B.entre 5 et 6Bonne réponse
   • C.entre 6 et 7
   • D.entre 14 et 15

   Réponse : B — entre 5 et 6

   On encadre 30 par deux carrés parfaits : 25 < 30 < 36. En prenant la racine des trois membres (la racine carrée conserve l'ordre des nombres positifs) : √25 < √30 < √36, soit 5 < √30 < 6. Répondre « entre 14 et 15 » revient à diviser 30 par 2, ce que ne fait pas la racine carrée.

7. Quelle est la forme simplifiée de √75 ?

   • A.3√5
   • B.15√5
   • C.5√3Bonne réponse
   • D.25√3

   Réponse : C — 5√3

   Le plus grand carré parfait qui divise 75 est 25, car 75 = 25 × 3. Donc √75 = √25 × √3 = 5√3. Vérification indispensable : (5√3)² = 25 × 3 = 75. Répondre 3√5 est le piège de l'inversion : (3√5)² vaudrait 9 × 5 = 45, pas 75.

8. ABC est un triangle rectangle en A avec AB = 4 cm et AC = 6 cm. Quelle est la valeur exacte de BC ?

   • A.10 cm
   • B.√10 cm
   • C.52 cm
   • D.2√13 cmBonne réponse

   Réponse : D — 2√13 cm

   D'après le théorème de Pythagore : BC² = AB² + AC² = 4² + 6² = 16 + 36 = 52. Donc BC = √52. On simplifie : 52 = 4 × 13, d'où √52 = 2√13 cm (environ 7,2 cm). Répondre 10 cm, c'est additionner les deux côtés au lieu d'additionner leurs carrés ; répondre 52 cm, c'est oublier de prendre la racine carrée à la fin.

9. Que vaut √18 + √2 sous forme simplifiée ?

   • A.√20
   • B.4√2Bonne réponse
   • C.3√2
   • D.2√5

   Réponse : B — 4√2

   On simplifie d'abord : √18 = √(9 × 2) = 3√2. La somme devient 3√2 + √2, et comme √2 vaut 1√2, on obtient (3 + 1)√2 = 4√2. Répondre √20 est l'erreur classique consistant à additionner sous les racines : √18 + √2 n'est PAS √20 (d'ailleurs (4√2)² = 32, pas 20).

10. Que vaut √49 ?

    • A.24,5
    • B.7Bonne réponse
    • C.2 401
    • D.4,9

    Réponse : B — 7

    √49 est le nombre positif dont le carré vaut 49. Comme 7 × 7 = 49, on a √49 = 7. Répondre 24,5, c'est diviser par 2 (ce n'est pas ce que fait une racine carrée), et 2 401 correspond à 49², c'est-à-dire l'opération inverse.

11. Parmi ces nombres, lequel n'a PAS de racine carrée ?

    • A.0
    • B.0,25
    • C.−16Bonne réponse
    • D.1

    Réponse : C — −16

    Un carré est toujours positif ou nul, donc aucun nombre ne peut avoir −16 pour carré : √(−16) n'existe pas. Les autres en ont bien une : √0 = 0, √0,25 = 0,5 (car 0,5 × 0,5 = 0,25) et √1 = 1. Retiens la règle : la racine carrée n'existe que pour les nombres positifs ou nuls.

12. Que vaut √64 / √16 ?

    • A.4
    • B.2Bonne réponse
    • C.48
    • D.0,5

    Réponse : B — 2

    √64 = 8 et √16 = 4, donc le quotient vaut 8 ÷ 4 = 2. On peut aussi utiliser la propriété √a / √b = √(a/b) : √64 / √16 = √(64/16) = √4 = 2. Répondre 4, c'est confondre avec √16 ; répondre 48, c'est soustraire 16 à 64 sans prendre les racines.