Probabilités : expériences à deux épreuves

Exercices corrigés

1. On lance un dé équilibré à six faces. Quelle est la probabilité d'obtenir le 4 ?

   • A.4/6
   • B.1/4
   • C.1/2
   • D.1/6Bonne réponse

   Réponse : D — 1/6

   Le dé est équilibré : les six faces sont équiprobables. Il y a une seule issue favorable (la face 4) sur six issues possibles, donc P = 1/6. Répondre 4/6, c'est utiliser le numéro de la face comme s'il s'agissait d'un nombre d'issues favorables. Le numéro inscrit sur la face n'a aucune influence sur sa probabilité de sortir.

2. Un sac contient 3 boules rouges et 5 boules vertes, indiscernables au toucher. Quelle est la probabilité de tirer une boule rouge ?

   • A.3/5
   • B.5/8
   • C.3/8Bonne réponse
   • D.1/3

   Réponse : C — 3/8

   Le sac contient 3 + 5 = 8 boules en tout, dont 3 rouges. Comme elles sont indiscernables au toucher, les tirages sont équiprobables : P(rouge) = 3/8. Répondre 3/5, c'est comparer les rouges aux vertes au lieu de les comparer au TOTAL — l'erreur la plus classique du chapitre. Contrôle : P(verte) = 5/8, et 3/8 + 5/8 = 1.

3. La probabilité d'un événement A vaut 0,3. Quelle est la probabilité de l'événement contraire ?

   • A.0,3
   • B.0,7Bonne réponse
   • C.-0,3
   • D.1,3

   Réponse : B — 0,7

   L'événement contraire se réalise exactement quand A ne se réalise pas : leurs probabilités totalisent donc 1. On calcule P(non A) = 1 - 0,3 = 0,7. Une probabilité négative comme -0,3 est impossible, et 1,3 dépasse 1 : ces deux réponses peuvent être éliminées d'un simple coup d'œil, sans même faire le calcul.

4. On lance successivement deux pièces de monnaie équilibrées. Combien y a-t-il d'issues possibles ?

   • A.4Bonne réponse
   • B.2
   • C.3
   • D.8

   Réponse : A — 4

   Chaque pièce a 2 issues, donc l'expérience complète en compte 2 × 2 = 4 : pile-pile, pile-face, face-pile et face-face. Répondre 3, c'est confondre pile-face et face-pile, alors que ce sont deux issues DIFFÉRENTES puisque les lancers sont successifs. Cette distinction change les probabilités : « un pile et un face » vaut 2/4, pas 1/4.

5. On lance deux pièces équilibrées. Quelle est la probabilité d'obtenir deux fois pile ?

   • A.1/2
   • B.1/3
   • C.3/4
   • D.1/4Bonne réponse

   Réponse : D — 1/4

   Il y a 4 issues équiprobables (PP, PF, FP, FF) et une seule est favorable : PP. Donc P = 1/4. On peut aussi le voir avec l'arbre : le long du chemin pile puis pile, on multiplie 1/2 × 1/2 = 1/4. Répondre 1/2, c'est donner la probabilité d'un seul lancer sans tenir compte du second.

6. On lance deux dés équilibrés à six faces. Quelle est la probabilité que la somme des deux résultats soit égale à 7 ?

   • A.1/12
   • B.1/6Bonne réponse
   • C.1/36
   • D.7/36

   Réponse : B — 1/6

   Sur les 36 issues, celles qui donnent une somme de 7 sont (1;6), (2;5), (3;4), (4;3), (5;2) et (6;1), soit 6 issues. Donc P = 6/36 = 1/6. Répondre 1/36, c'est n'avoir compté qu'une seule issue, alors que six couples différents conviennent. C'est d'ailleurs la somme la plus probable avec deux dés — bien plus que 12, qui n'a qu'une seule issue favorable.

7. Une urne contient 4 boules rouges et 6 boules bleues. On tire une boule, on la REMET, puis on en tire une seconde. Quelle est la probabilité d'obtenir deux boules rouges ?

   • A.0,16Bonne réponse
   • B.0,4
   • C.0,8
   • D.0,12

   Réponse : A — 0,16

   À chaque tirage, P(rouge) = 4/10 = 0,4. Comme la boule est remise, l'urne est identique au second tirage, donc les probabilités ne changent pas. Le long du chemin rouge puis rouge, on multiplie : 0,4 × 0,4 = 0,16. Répondre 0,8, c'est avoir additionné 0,4 + 0,4 : mais additionner les probabilités le long d'un chemin donnerait des résultats dépassant vite 1, ce qui est impossible.

8. Une roue de loterie a 8 secteurs identiques, dont 3 sont gagnants. On la fait tourner deux fois de suite. Quelle est la probabilité de gagner aux deux tours ?

   • A.3/8
   • B.6/8
   • C.3/16
   • D.9/64Bonne réponse

   Réponse : D — 9/64

   À chaque tour, P(gagner) = 3/8, et la roue ne garde évidemment aucune mémoire du tour précédent : les deux épreuves sont indépendantes. On multiplie donc le long du chemin : 3/8 × 3/8 = 9/64, soit environ 0,14. Répondre 6/8, c'est avoir additionné les numérateurs sans toucher au dénominateur, ce qui donnerait 0,75 : bien plus probable que gagner une seule fois, ce qui n'a aucun sens.

9. Une urne contient 3 boules rouges et 2 boules vertes. On tire deux boules successivement SANS remise. Quelle est la probabilité d'obtenir deux rouges ?

   • A.9/25
   • B.3/5
   • C.3/10Bonne réponse
   • D.6/25

   Réponse : C — 3/10

   Premier tirage : 5 boules dont 3 rouges, donc 3/5. Comme on ne remet pas la boule, il reste ensuite 4 boules dont 2 rouges, donc 2/4 = 1/2. On multiplie : 3/5 × 1/2 = 3/10 = 0,3. Répondre 9/25, c'est le résultat AVEC remise (3/5 × 3/5) : c'est le piège central du chapitre. Remarque logique : sans remise, il reste moins de rouges, donc la probabilité doit être plus petite — et 0,3 est bien inférieur à 0,36.

10. Dans un groupe de 50 élèves, 20 sont des filles et 12 de ces filles pratiquent un sport. On choisit un élève au hasard. Quelle est la probabilité que ce soit une fille pratiquant un sport ?

    • A.0,4
    • B.0,24Bonne réponse
    • C.0,6
    • D.0,12

    Réponse : B — 0,24

    L'événement « être une fille ET pratiquer un sport » concerne 12 élèves sur les 50 du groupe : P = 12/50 = 0,24. Répondre 0,6, c'est calculer 12/20, c'est-à-dire la proportion parmi les FILLES seulement, alors que l'élève est tiré au hasard dans tout le groupe. Répondre 0,4 correspond à la probabilité d'être une fille (20/50), sans la condition sur le sport.

11. On lance deux pièces équilibrées. Quelle est la probabilité d'obtenir AU MOINS un pile ?

    • A.3/4Bonne réponse
    • B.1/4
    • C.1/2
    • D.2/3

    Réponse : A — 3/4

    Le plus rapide est de passer par l'événement contraire : le contraire de « au moins un pile » est « aucun pile », c'est-à-dire face-face, de probabilité 1/2 × 1/2 = 1/4. Donc P(au moins un pile) = 1 - 1/4 = 3/4. Vérification par dénombrement : sur les 4 issues PP, PF, FP, FF, trois contiennent au moins un pile, soit 3/4. Répondre 1/2, c'est oublier que PF et FP sont deux issues distinctes.

12. On lance deux dés équilibrés à six faces. Quelle est la probabilité que la somme soit supérieure ou égale à 10 ?

    • A.1/3
    • B.3/36
    • C.1/6Bonne réponse
    • D.1/12

    Réponse : C — 1/6

    Listons les issues favorables sur les 36 possibles. Somme 10 : (4;6), (5;5), (6;4), soit 3 issues. Somme 11 : (5;6), (6;5), soit 2 issues. Somme 12 : (6;6), soit 1 issue. Total : 3 + 2 + 1 = 6 issues, donc P = 6/36 = 1/6. Répondre 3/36, c'est n'avoir traité que la somme égale à 10 en oubliant le « supérieur ou égal ». Attention aussi : (4;6) et (6;4) comptent bien pour deux issues distinctes.