Grandeurs composées et changements d'unités
Troisième · Maths · Grandeurs et mesures
Grandeurs et mesures
Les grandeurs quotients et produits
Certaines grandeurs se mesurent directement : une longueur en mètres, une masse en kilogrammes, une durée en secondes. D'autres se construisent en combinant deux grandeurs : une vitesse, un débit, une masse volumique. Ce sont les grandeurs composées, et on les repère facilement à leur unité, qui contient une barre de fraction ou un point.
Les grandeurs quotients du programme
| Grandeur | Calcul | Unités courantes |
|---|---|---|
| Vitesse moyenne | distance / durée | km/h, m/s |
| Débit | volume / durée | L/min, L/h, m³/h |
| Masse volumique | masse / volume | g/cm³, kg/m³, kg/L |
| Consommation d'un véhicule | volume de carburant / distance | L/100 km |
| Prix au kilogramme | prix / masse | euros/kg |
Grandeurs et mesures
Changer d'unités sans se tromper
Un même résultat peut s'écrire de plusieurs façons : 10 m/s ou 36 km/h, 1,5 g/cm³ ou 1500 kg/m³. Savoir passer d'une écriture à l'autre est indispensable, aussi bien en maths qu'en physique-chimie. La bonne nouvelle : il n'y a qu'une règle, appliquée successivement à chaque unité. Deux familles de grandeurs sont concernées : les grandeurs simples (une longueur, une aire, un volume, une masse), qui changent d'unité par un facteur fixe, et les grandeurs composées, qui associent deux unités par une division (une vitesse, un débit, une masse volumique). Les deux se traitent avec la même logique de fond, mais pas avec les mêmes gestes : c'est ce que détaille cette fiche.
Les conversions de base
| Type de grandeur | Passage à l'unité suivante | Exemple |
|---|---|---|
| Longueur | ×10 par rang | 1 m = 100 cm = 1000 mm |
| Aire | ×100 par rang | 1 m² = 10 000 cm² |
| Volume | ×1000 par rang | 1 m³ = 1 000 000 cm³ |
| Capacité | 1 L = 1 dm³ | 1 m³ = 1000 L et 1 cm³ = 1 mL |
| Masse | ×1000 pour kg vers g | 1 t = 1000 kg = 1 000 000 g |
Pourquoi ce facteur change-t-il pour les aires et les volumes ? Une longueur ne se mesure que dans une seule direction, donc le facteur de conversion s'applique une seule fois. Une aire se mesure dans deux directions à la fois (une longueur multipliée par une largeur), donc le facteur s'applique deux fois, ce qui revient à l'élever au carré. Un volume se mesure dans trois directions (longueur, largeur et hauteur), donc le facteur s'applique trois fois, ce qui revient à l'élever au cube. C'est ce raisonnement, et non un tableau appris par cœur, qui permet de retrouver n'importe quel facteur de conversion, même pour des unités moins courantes.
Convertir une grandeur quotient
Une grandeur composée associe deux unités par une division : une vitesse (distance par durée), un débit (volume par durée) ou une masse volumique (masse par volume). Pour la convertir, il n'existe pas de facteur unique universel : le raccourci « diviser ou multiplier par 3,6 », très utile, ne fonctionne que pour passer des km/h aux m/s, car il découle précisément du rapport entre 1000 m et 3600 s. Pour toute autre grandeur quotient (un débit en L/h, une masse volumique en kg/m³...), il faut repartir de la méthode générale : convertir le numérateur, convertir le dénominateur, puis diviser l'un par l'autre.
L'erreur la plus fréquente sur les grandeurs quotients consiste à ne convertir qu'une seule des deux unités, ou à diviser dans le mauvais sens. Par exemple, pour passer de 90 km/h à des m/s, diviser par 3,6 donne 25 m/s ; multiplier par erreur donnerait 324 m/s, c'est-à-dire plus de 1 100 km/h, presque la vitesse du son : manifestement absurde pour une voiture. Se demander si le résultat est plausible permet presque toujours de repérer ce genre d'erreur avant de la valider.
Exercices corrigés
Une vitesse moyenne est le quotient de...
- A.la durée par la distance
- B.la distance par la duréeBonne réponse
- C.la distance multipliée par la durée
- D.la masse par le volume
Réponse : B — la distance par la durée
La vitesse moyenne se calcule en divisant la distance parcourue par la durée du trajet : v = d / t. L'unité le confirme : des km/h, ce sont bien des kilomètres divisés par des heures. Diviser la durée par la distance donnerait des h/km, une grandeur qui existe (le temps mis par kilomètre) mais qui n'est pas la vitesse. Quant à masse divisée par volume, c'est la masse volumique.
Un cycliste parcourt 90 km en 2 heures. Quelle est sa vitesse moyenne ?
- A.45 km/hBonne réponse
- B.180 km/h
- C.92 km/h
- D.22,5 km/h
Réponse : A — 45 km/h
On applique v = d / t = 90 / 2 = 45 km/h. Vérification dans l'autre sens : en 2 heures à 45 km/h, on parcourt 45 × 2 = 90 km. C'est bien cohérent. Répondre 180 km/h, c'est multiplier au lieu de diviser. Répondre 22,5 km/h reviendrait à diviser deux fois par 2. Ce résultat de 45 km/h est d'ailleurs plausible pour un cycliste très rapide.
Laquelle de ces unités mesure une masse volumique ?
- A.le km/h
- B.le L/min
- C.le g/cm³Bonne réponse
- D.le kWh
Réponse : C — le g/cm³
La masse volumique est le quotient d'une masse par un volume : son unité associe donc une unité de masse (g, kg) et une unité de volume (cm³, m³, L). Le g/cm³ convient parfaitement. Le km/h mesure une vitesse, le L/min un débit, et le kWh est une grandeur produit qui mesure une énergie. Pour identifier une grandeur, lis toujours son unité : elle raconte la formule.
Pour convertir une vitesse exprimée en km/h en m/s, il faut...
- A.diviser par 3,6Bonne réponse
- B.multiplier par 3,6
- C.diviser par 60
- D.multiplier par 1000
Réponse : A — diviser par 3,6
Un kilomètre par heure correspond à 1000 m parcourus en 3600 s, soit 1000/3600 = 1/3,6 m/s. Passer des km/h aux m/s revient donc à diviser par 3,6, et l'opération inverse consiste à multiplier par 3,6. Contrôle de bon sens : une vitesse en m/s est toujours numériquement plus petite que la même vitesse en km/h, donc la conversion doit bien faire diminuer le nombre.
Une voiture roule à 36 km/h. Quelle est sa vitesse en m/s ?
- A.3,6 m/s
- B.129,6 m/s
- C.10 m/sBonne réponse
- D.600 m/s
Réponse : C — 10 m/s
On divise par 3,6 : 36 / 3,6 = 10 m/s. Vérifions par la méthode complète : 36 km = 36 000 m et 1 h = 3600 s, donc 36 000 / 3600 = 10 m/s. Les deux méthodes concordent. Répondre 129,6 m/s, c'est multiplier par 3,6 au lieu de diviser, ce qui donnerait une vitesse d'avion de chasse. Répondre 600 m/s revient à diviser seulement par 60, en oubliant qu'une heure contient 3600 secondes.
Un coureur avance à 5 m/s. Quelle est sa vitesse en km/h ?
- A.1,4 km/h
- B.300 km/h
- C.50 km/h
- D.18 km/hBonne réponse
Réponse : D — 18 km/h
On multiplie par 3,6 : 5 × 3,6 = 18 km/h. Contrôle par la méthode longue : en 1 seconde il fait 5 m, donc en 3600 s il fait 18 000 m, soit 18 km en une heure. Répondre environ 1,4 km/h, c'est diviser par 3,6 au lieu de multiplier, ce qui donnerait une allure plus lente que la marche. Une vitesse de 18 km/h correspond bien à un très bon coureur de fond.
Un robinet remplit un seau de 15 litres en 3 minutes. Quel est son débit ?
- A.45 L/min
- B.5 L/minBonne réponse
- C.0,2 L/min
- D.18 L/min
Réponse : B — 5 L/min
Le débit est le quotient d'un volume par une durée : débit = 15 / 3 = 5 L/min. Vérification : en 3 minutes à 5 L/min, on obtient bien 5 × 3 = 15 litres. Répondre 45 L/min, c'est multiplier au lieu de diviser. Répondre 0,2 L/min, c'est diviser dans le mauvais sens (3/15), ce qui donnerait le temps nécessaire pour un litre, exprimé en min/L.
Un objet a une masse de 200 g et un volume de 80 cm³. Quelle est sa masse volumique ?
- A.2,5 g/cm³Bonne réponse
- B.0,4 g/cm³
- C.16 000 g/cm³
- D.120 g/cm³
Réponse : A — 2,5 g/cm³
La masse volumique vaut masse / volume = 200 / 80 = 2,5 g/cm³. Vérification : 2,5 × 80 = 200 g, c'est cohérent. Répondre 0,4 g/cm³, c'est diviser à l'envers (80/200) : on obtiendrait alors des cm³/g, c'est-à-dire un volume par gramme. Répondre 120 g/cm³ correspond à une soustraction, qui n'a aucun sens entre deux grandeurs d'unités différentes. Avec 2,5 g/cm³, l'objet coule dans l'eau (dont la masse volumique vaut 1 g/cm³).
Une voiture consomme 6 litres de carburant pour 100 km. Combien consomme-t-elle sur un trajet de 250 km ?
- A.2,4 L
- B.60 L
- C.24 L
- D.15 LBonne réponse
Réponse : D — 15 L
La situation est proportionnelle. Le trajet de 250 km représente 250/100 = 2,5 fois 100 km, donc la consommation vaut 6 × 2,5 = 15 L. Autre méthode : la voiture consomme 6/100 = 0,06 L par km, donc 0,06 × 250 = 15 L. Les deux calculs concordent. Répondre 2,4 L, c'est diviser dans le mauvais sens ; répondre 60 L reviendrait à un trajet de 1000 km.
Un car roule pendant 2 h 30 min à la vitesse moyenne de 80 km/h. Quelle distance parcourt-il ?
- A.200 kmBonne réponse
- B.184 km
- C.240 km
- D.32 km
Réponse : A — 200 km
Il faut d'abord convertir la durée en heures décimales : 2 h 30 min = 2,5 h, car 30 min valent une demi-heure. Ensuite d = v × t = 80 × 2,5 = 200 km. Répondre 184 km vient du piège de l'écriture : on a multiplié 80 par 2,30 au lieu de 2,5. Répondre 32 km, c'est diviser 80 par 2,5 au lieu de multiplier, ce qui donnerait une durée et non une distance.
Un train parcourt 240 km en 1 h 36 min. Quelle est sa vitesse moyenne ?
- A.104 km/h
- B.240 km/h
- C.160 km/h
- D.150 km/hBonne réponse
Réponse : D — 150 km/h
Convertissons d'abord la durée : 36 min = 36/60 = 0,6 h, donc 1 h 36 min = 1,6 h. Ensuite v = d / t = 240 / 1,6 = 150 km/h. Vérification dans l'autre sens : 150 × 1,6 = 240 km. C'est correct. Répondre 104 km/h vient du piège de l'écriture décimale, en divisant 240 par 2,3 ou en confondant 1 h 36 avec 1,36 h. Répondre 160 km/h correspondrait à une durée de 1,5 h, donc à 1 h 30 min.
Une pompe a un débit de 1200 L/h. En combien de temps remplit-elle une cuve de 300 litres ?
- A.4 heures
- B.15 minutesBonne réponse
- C.25 minutes
- D.40 minutes
Réponse : B — 15 minutes
On applique durée = volume / débit = 300 / 1200 = 0,25 h. Il reste à convertir : 0,25 h = 0,25 × 60 = 15 minutes. Autre raisonnement, plus direct : 1200 L en 60 min correspond à 20 L par minute, donc 300/20 = 15 minutes. Répondre 4 heures, c'est diviser à l'envers (1200/300) : impossible, puisque la pompe débite bien plus que la contenance de la cuve en une seule heure.
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Ce chapitre compte 35 exercices corrigés dans l'application, avec le suivi de ta progression.
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