Fonctions linéaires et fonctions affines
Troisième · Maths · Organisation et gestion de données, fonctions
Fonctions
Reconnaître et calculer avec une fonction linéaire ou affine
Tu connais déjà la notion de fonction : une machine qui transforme un nombre en un autre. En 3e, on s'intéresse à deux familles de fonctions très particulières, parce qu'elles décrivent presque toutes les situations concrètes du quotidien : les fonctions linéaires (une réduction de 30 %, une vitesse constante) et les fonctions affines (un abonnement + un prix à l'unité, un taxi avec sa prise en charge).
| Fonction linéaire | Fonction affine | |
|---|---|---|
| Écriture | f(x) = ax | f(x) = ax + b |
| Exemples | f(x) = 4x ; f(x) = -0,5x | f(x) = 4x + 3 ; f(x) = -2x + 7 |
| Image de 0 | f(0) = 0, toujours | f(0) = b |
| Graphique | droite passant par l'origine du repère | droite quelconque (non verticale) |
| Situation typique | proportionnalité, pourcentages | un montant fixe + une partie proportionnelle |
Image et antécédent : ne pas confondre les deux sens
Calculer une image, c'est aller dans le sens de la machine : on te donne x, tu cherches f(x). Chercher un antécédent, c'est remonter le courant : on te donne le résultat f(x), tu cherches le x de départ. Le premier est un simple calcul, le second est une équation à résoudre.
Fonctions
Graphiques, pourcentages et problèmes
La grande force des fonctions linéaires et affines, c'est que leur représentation graphique est toujours une droite. Du coup, deux points suffisent pour la tracer, et une lecture graphique suffit souvent pour répondre à une question de brevet.
| Signe de a | Allure de la droite | Comportement de la fonction |
|---|---|---|
| a > 0 | elle monte de gauche à droite | f est croissante : plus x augmente, plus f(x) augmente |
| a < 0 | elle descend de gauche à droite | f est décroissante : plus x augmente, plus f(x) diminue |
| a = 0 | elle est horizontale | f est constante, elle vaut toujours b |
Fonctions linéaires et pourcentages. Toute évolution en pourcentage est une fonction linéaire. Augmenter de 20 %, c'est multiplier par 1,20 ; diminuer de 20 %, c'est multiplier par 0,80. Ce nombre s'appelle le coefficient multiplicateur, et c'est exactement le coefficient a de la fonction.
| Évolution | Fonction linéaire | Coefficient a |
|---|---|---|
| Augmentation de 5 % | f(x) = 1,05x | 1,05 |
| Augmentation de 15 % | f(x) = 1,15x | 1,15 |
| Diminution de 10 % | f(x) = 0,90x | 0,90 |
| Diminution de 25 % | f(x) = 0,75x | 0,75 |
| Prendre 30 % d'un nombre | f(x) = 0,30x | 0,30 |
Exercices corrigés
Soit f la fonction affine définie par f(x) = 2x + 3. Combien vaut f(0) ?
- A.0
- B.2
- C.3Bonne réponse
- D.5
Réponse : C — 3
On remplace x par 0 : f(0) = 2 × 0 + 3 = 0 + 3 = 3. C'est une règle générale à connaître : pour une fonction affine f(x) = ax + b, on a toujours f(0) = b. Répondre 0 serait vrai pour une fonction LINÉAIRE, pas pour une affine. Répondre 5 revient à calculer 2 + 3, c'est-à-dire f(1).
f est une fonction linéaire telle que f(3) = 12. Quelle est son expression ?
- A.f(x) = 4xBonne réponse
- B.f(x) = 3x
- C.f(x) = x + 9
- D.f(x) = 12x
Réponse : A — f(x) = 4x
Une fonction linéaire s'écrit f(x) = ax. On sait que f(3) = 12, donc a × 3 = 12, d'où a = 12/3 = 4 et f(x) = 4x. Vérification : f(3) = 4 × 3 = 12, c'est correct. f(x) = x + 9 donne bien 12 pour x = 3, mais ce n'est pas une fonction linéaire (il y a un + 9) : elle est éliminée par l'énoncé. f(x) = 12x donnerait f(3) = 36.
Un magasin augmente tous ses prix de 15 %. Quelle fonction donne le nouveau prix en fonction de l'ancien prix x ?
- A.f(x) = 1,15xBonne réponse
- B.f(x) = 0,15x
- C.f(x) = x + 15
- D.f(x) = 1,5x
Réponse : A — f(x) = 1,15x
Augmenter de 15 %, c'est garder les 100 % du prix et ajouter 15 %, soit multiplier par 115/100 = 1,15. Exemple de contrôle : un article à 200 € devient 200 × 1,15 = 230 €, soit 30 € de plus, ce qui est bien 15 % de 200. f(x) = 0,15x donnerait seulement le MONTANT de la hausse. f(x) = x + 15 ajouterait 15 € à tous les prix, pas 15 %. Et 1,5 correspondrait à + 50 %.
En quel point la droite représentant f(x) = 2x - 6 coupe-t-elle l'axe des abscisses ?
- A.(0 ; -6)
- B.(-3 ; 0)
- C.(6 ; 0)
- D.(3 ; 0)Bonne réponse
Réponse : D — (3 ; 0)
Sur l'axe des abscisses, l'ordonnée vaut 0 : on résout donc f(x) = 0, soit 2x - 6 = 0, donc 2x = 6 et x = 3. Le point cherché est (3 ; 0). Le point (0 ; -6) est bien sur la droite, mais c'est l'intersection avec l'axe des ORDONNÉES. Répondre (-3 ; 0) vient d'une erreur de signe en passant le -6 de l'autre côté.
f est une fonction affine avec f(1) = 7 et f(4) = 1. Quelle est son expression ?
- A.f(x) = -2x + 9Bonne réponse
- B.f(x) = -2x + 7
- C.f(x) = 2x + 5
- D.f(x) = -6x + 13
Réponse : A — f(x) = -2x + 9
D'abord le coefficient directeur : a = (1 - 7)/(4 - 1) = -6/3 = -2. Ensuite b : on utilise f(1) = 7, donc -2 × 1 + b = 7, soit -2 + b = 7, donc b = 9. Ainsi f(x) = -2x + 9. Vérification avec l'autre donnée : f(4) = -2 × 4 + 9 = -8 + 9 = 1. Parfait. Répondre -2x + 7, c'est confondre b avec la valeur f(1). Répondre -6x + 13, c'est avoir oublié de diviser par l'écart des x.
Un club de sport facture 12 € d'inscription puis 3 € par séance. Combien de séances peut-on faire avec un budget de 51 € ?
- A.12 séances
- B.17 séances
- C.13 séancesBonne réponse
- D.21 séances
Réponse : C — 13 séances
Le coût pour n séances est donné par la fonction affine f(n) = 3n + 12. On résout 3n + 12 = 51, donc 3n = 39, donc n = 13. Vérification : 13 × 3 = 39, plus 12 d'inscription, cela fait bien 51 €. Répondre 17, c'est calculer 51/3 en oubliant l'inscription : c'est l'erreur classique quand on traite une situation affine comme si elle était linéaire.
On considère f(x) = 5x et g(x) = 2x + 9. Pour quelle valeur de x les deux fonctions donnent-elles le même résultat ?
- A.x = 9
- B.x = 1,5
- C.x = 4,5
- D.x = 3Bonne réponse
Réponse : D — x = 3
On cherche x tel que f(x) = g(x), soit 5x = 2x + 9. On retire 2x des deux côtés : 3x = 9, donc x = 3. Vérification : f(3) = 15 et g(3) = 2 × 3 + 9 = 15. Les deux valent bien 15. Répondre 9, c'est oublier de diviser par 3 ; répondre 4,5 revient à diviser 9 par 2, c'est-à-dire à ne retirer qu'un seul des deux termes en x.
Le prix d'un article baisse de 20 %, puis le nouveau prix augmente de 20 %. Quelle fonction donne le prix final en fonction du prix initial x ?
- A.f(x) = x : on revient exactement au prix de départ
- B.f(x) = 0,96x, soit une baisse finale de 4 %Bonne réponse
- C.f(x) = 1,04x, soit une hausse finale de 4 %
- D.f(x) = 0,4x, soit une baisse finale de 60 %
Réponse : B — f(x) = 0,96x, soit une baisse finale de 4 %
Une baisse de 20 % revient à multiplier par 0,8 ; une hausse de 20 % revient à multiplier par 1,2. En enchaînant : 0,8 × 1,2 = 0,96. Le prix final vaut donc 0,96x, soit 4 % de moins que le prix initial. Test sur 100 € : 100 → 80 → 80 × 1,2 = 96 €. On ne revient pas au départ, parce que la hausse de 20 % s'applique à un prix déjà réduit, donc plus petit. Les pourcentages ne s'additionnent jamais : leurs coefficients se multiplient.
Une droite passe par les points (0 ; -1) et (2 ; 3). Quelle fonction affine représente-t-elle ?
- A.f(x) = 2x - 1Bonne réponse
- B.f(x) = 2x + 1
- C.f(x) = 4x - 1
- D.f(x) = -2x - 1
Réponse : A — f(x) = 2x - 1
Le premier point a pour abscisse 0 : il donne directement l'ordonnée à l'origine, b = -1. Ensuite a = (3 - (-1))/(2 - 0) = 4/2 = 2. Donc f(x) = 2x - 1. Vérification : f(2) = 2 × 2 - 1 = 3, c'est bien le second point. Répondre 4x - 1, c'est avoir oublié de diviser par l'écart des abscisses (2). Répondre 2x + 1, c'est se tromper de signe sur b.
f est une fonction affine telle que f(-2) = 5 et f(3) = -5. Combien vaut f(10) ?
- A.-15
- B.21
- C.-19Bonne réponse
- D.-20
Réponse : C — -19
Étape 1, le coefficient directeur : a = (-5 - 5)/(3 - (-2)) = -10/5 = -2. Attention au double signe moins au dénominateur : 3 - (-2) = 5. Étape 2, l'ordonnée à l'origine : f(-2) = 5 donne -2 × (-2) + b = 5, soit 4 + b = 5, donc b = 1. La fonction est f(x) = -2x + 1. Vérification : f(3) = -6 + 1 = -5, c'est bon. Étape 3 : f(10) = -2 × 10 + 1 = -20 + 1 = -19. Répondre -20, c'est oublier le + 1 final.
Soit f la fonction linéaire définie par f(x) = 3x. Quelle est l'image de 5 ?
- A.8
- B.15Bonne réponse
- C.3/5
- D.5/3
Réponse : B — 15
Calculer l'image de 5, c'est remplacer x par 5 : f(5) = 3 × 5 = 15. Répondre 8, c'est additionner 3 et 5 au lieu de les multiplier — l'erreur la plus fréquente. Les fractions 3/5 et 5/3 viendraient d'une division, alors que la fonction demande bien une multiplication.
Parmi ces quatre fonctions, laquelle est une fonction LINÉAIRE ?
- A.f(x) = 2x + 1
- B.f(x) = x²
- C.f(x) = 5
- D.f(x) = -4xBonne réponse
Réponse : D — f(x) = -4x
Une fonction linéaire s'écrit f(x) = ax, sans rien ajouter. Seule f(x) = -4x a cette forme (avec a = -4 ; le coefficient a parfaitement le droit d'être négatif). f(x) = 2x + 1 est affine mais pas linéaire (b = 1). f(x) = x² n'est ni l'une ni l'autre : le x y est au carré. f(x) = 5 est affine avec a = 0, mais pas linéaire.
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