L'homothétie

Exercices corrigés

1. Une homothétie a pour centre O et pour rapport k = 3. Le point A vérifie OA = 2 cm. Combien mesure OA' ?

   • A.6 cmBonne réponse
   • B.5 cm
   • C.2/3 cm
   • D.9 cm

   Réponse : A — 6 cm

   La règle est OA' = |k| × OA, donc OA' = 3 × 2 = 6 cm. Répondre 5 cm, c'est additionner (2 + 3) au lieu de multiplier. Répondre 2/3 cm reviendrait à diviser par k, ce qui donnerait une réduction alors que k = 3 agrandit. Et 9 cm ne correspond à rien : c'est 3², qui sert pour les aires, pas pour les longueurs.

2. Qu'est-ce qu'une homothétie conserve toujours ?

   • A.les longueurs des côtés
   • B.les aires des figures
   • C.la position exacte des points
   • D.les mesures des anglesBonne réponse

   Réponse : D — les mesures des angles

   Une homothétie change la taille mais pas la forme : un angle de 60° a toujours pour image un angle de 60°. C'est ce qui garantit que la figure image est semblable à la figure de départ. Les longueurs, elles, sont multipliées par |k| ; les aires par k² ; et les points changent bien de place (sauf le centre O, qui est le seul point invariant).

3. Un triangle d'aire 5 cm² a pour image, par une homothétie de rapport 2, un triangle d'aire...

   • A.10 cm²
   • B.20 cm²Bonne réponse
   • C.25 cm²
   • D.7 cm²

   Réponse : B — 20 cm²

   Les aires sont multipliées par k², et non par k. Ici k² = 2² = 4, donc l'aire de l'image vaut 5 × 4 = 20 cm². Répondre 10 cm² est le piège classique : c'est multiplier par k = 2, ce qui vaut pour les longueurs uniquement. Répondre 7 cm² serait une addition, et 25 cm² ne correspond à aucun calcul cohérent.

4. Une homothétie de centre O envoie A sur A', du même côté de O. On mesure OA = 4 cm et OA' = 10 cm. Que vaut le rapport k ?

   • A.k = 0,4
   • B.k = 6
   • C.k = 2,5Bonne réponse
   • D.k = 40

   Réponse : C — k = 2,5

   On a OA' = k × OA, donc k = OA'/OA = 10/4 = 2,5. Comme A' est du même côté de O que A, le rapport est positif : k = 2,5. Vérification : 2,5 × 4 = 10, c'est bien cohérent. Répondre 0,4 (= 4/10) revient à inverser le rapport, ce qui donnerait une réduction alors que l'image est plus grande. Répondre 6, c'est faire la soustraction 10 − 4.

5. On applique l'homothétie de centre O et de rapport k = -2 au point A, avec OA = 3 cm. Où se trouve A' ?

   • A.à 6 cm de O, du même côté que A
   • B.à 6 cm de O, de l'autre côté de OBonne réponse
   • C.à 1,5 cm de O, de l'autre côté de O
   • D.à 5 cm de O, sur la demi-droite [OA)

   Réponse : B — à 6 cm de O, de l'autre côté de O

   Deux informations à traiter séparément. La distance d'abord : OA' = |k| × OA = 2 × 3 = 6 cm. Le côté ensuite : k est négatif, donc A' se trouve de l'autre côté de O, sur la demi-droite opposée à [OA). D'où la réponse : 6 cm, de l'autre côté. Répondre 1,5 cm reviendrait à diviser par 2 au lieu de multiplier.

6. Une figure d'aire 12 cm² subit une homothétie de rapport k = 1/2. Quelle est l'aire de l'image ?

   • A.6 cm²
   • B.24 cm²
   • C.1,5 cm²
   • D.3 cm²Bonne réponse

   Réponse : D — 3 cm²

   Les aires sont multipliées par k² = (1/2)² = 1/4. Donc l'aire de l'image vaut 12 × 1/4 = 3 cm². Répondre 6 cm², c'est diviser par 2 au lieu de diviser par 4 : on a confondu l'effet sur les longueurs et l'effet sur les aires. Répondre 1,5 cm² correspondrait à une division par 8, c'est-à-dire à k³, qui sert pour les volumes.

7. Un segment [AB] mesure 5 cm. Quelle est la longueur de son image [A'B'] par une homothétie de rapport k = -3 ?

   • A.15 cmBonne réponse
   • B.-15 cm
   • C.8 cm
   • D.45 cm

   Réponse : A — 15 cm

   Une longueur est toujours positive : on utilise la valeur absolue du rapport. Ici |k| = 3, donc A'B' = 3 × 5 = 15 cm. La réponse -15 cm n'a aucun sens géométrique : le signe de k sert uniquement à savoir de quel côté de O se trouve l'image, pas à calculer une longueur. Répondre 45 cm reviendrait à utiliser k² = 9, qui concerne les aires.

8. Une homothétie de centre O envoie A sur A'. On sait que OA = 6 cm, OA' = 2 cm et que A' est du même côté de O que A. Que vaut k ?

   • A.k = 3
   • B.k = -3
   • C.k = 1/3Bonne réponse
   • D.k = -1/3

   Réponse : C — k = 1/3

   On calcule |k| = OA'/OA = 2/6 = 1/3. L'image est plus petite que la figure de départ, ce qui confirme une réduction : |k| est bien compris entre 0 et 1. Comme A' est du même côté de O que A, le rapport est positif : k = 1/3. Vérification : (1/3) × 6 = 2, c'est correct. Répondre 3 revient à calculer 6/2, c'est-à-dire à inverser le rapport.

9. Le point A vérifie OA = 8 cm. On construit son image A' par l'homothétie de centre O et de rapport k = -1/2. Combien mesure la distance AA' ?

   • A.4 cm
   • B.6 cm
   • C.16 cm
   • D.12 cmBonne réponse

   Réponse : D — 12 cm

   Calculons d'abord OA' = |k| × OA = (1/2) × 8 = 4 cm. Comme k est négatif, A' est de l'autre côté de O : le point O se trouve donc entre A et A'. La distance AA' est alors la somme des deux : AA' = OA + OA' = 8 + 4 = 12 cm. Répondre 4 cm, c'est donner OA' au lieu de AA'. Répondre 4 de différence (soit 8 − 4 = 4) supposerait que A et A' sont du même côté, ce qui est faux ici puisque k est négatif.

10. Un solide de volume 5 cm³ est agrandi par une homothétie de rapport 3. Quel est le volume du solide image ?

    • A.15 cm³
    • B.45 cm³
    • C.135 cm³Bonne réponse
    • D.405 cm³

    Réponse : C — 135 cm³

    Un volume met en jeu trois dimensions : il est donc multiplié par |k|³ = 3³ = 27. Le volume image vaut 5 × 27 = 135 cm³. Répondre 15 cm³, c'est multiplier par k (bon pour les longueurs). Répondre 45 cm³, c'est multiplier par k² = 9 (bon pour les aires). Retiens la progression : longueurs × k, aires × k², volumes × k³.

11. Un rectangle mesure 3 cm sur 5 cm. Quel est le périmètre de son image par une homothétie de rapport 2 ?

    • A.32 cmBonne réponse
    • B.64 cm
    • C.16 cm
    • D.30 cm

    Réponse : A — 32 cm

    Deux méthodes, même résultat. Méthode 1 : le rectangle image mesure 6 cm sur 10 cm, donc son périmètre vaut 2 × (6 + 10) = 32 cm. Méthode 2 : le périmètre de départ vaut 2 × (3 + 5) = 16 cm, et un périmètre se multiplie par |k| = 2, soit 16 × 2 = 32 cm. Répondre 64 cm, c'est appliquer k² = 4, qui ne vaut que pour les aires. Répondre 16 cm, c'est donner le périmètre du rectangle de départ.

12. Une homothétie de centre O et de rapport k envoie A sur A'. On sait que OA = 5 cm, que A' est du même côté de O que A, et que AA' = 15 cm. Que vaut k ?

    • A.k = 3
    • B.k = 4Bonne réponse
    • C.k = -2
    • D.k = 1/4

    Réponse : B — k = 4

    Comme A et A' sont du même côté de O, le rapport k est positif et les trois points sont dans cet ordre : O, puis A, puis A' (ou l'inverse). On a OA' = OA + AA' = 5 + 15 = 20 cm, à condition que A' soit plus loin de O que A — ce qui est bien le cas puisque AA' = 15 cm est plus grand que OA = 5 cm. Alors k = OA'/OA = 20/5 = 4. Vérification : 4 × 5 = 20 et 20 − 5 = 15, tout colle. Le piège serait de calculer directement 15/5 = 3, ce qui reviendrait à confondre AA' et OA'.