Calcul littéral : développer, factoriser, identités remarquables

Nombres et calculs

Développer et réduire une expression

Le calcul littéral, c'est le calcul avec des lettres. La lettre (souvent x) représente un nombre qu'on ne connaît pas encore, ou n'importe quel nombre. C'est l'outil numéro 1 du brevet : il sert à résoudre des équations, à démontrer des propriétés et à traiter les fameux « programmes de calcul ».

La distributivité simple

Pour développer k(a + b), on distribue k à chaque terme de la parenthèse :
k(a + b) = ka + kb et k(a − b) = ka − kb.
Cette règle vient de la distributivité de la multiplication sur l'addition : multiplier k par une somme revient à multiplier k par chaque terme, puis à additionner les résultats. On peut le voir avec une aire : un rectangle de largeur k et de longueur (a + b) a la même aire qu'un rectangle de largeur k et de longueur a, posé à côté d'un rectangle de largeur k et de longueur b. Cette règle s'applique chaque fois qu'un nombre ou une lettre multiplie une parenthèse ; elle ne s'applique pas quand la parenthèse est seulement ajoutée, sans multiplication devant. L'erreur la plus fréquente consiste à multiplier k par le premier terme seulement, en oubliant le second : k(a + b) n'est pas égal à ka + b, il faut bien multiplier k par b aussi.
3(2x + 5) = 3 × 2x + 3 × 5 = 6x + 15

La double distributivité

Pour développer (a + b)(c + d), chaque terme de la première parenthèse multiplie chaque terme de la seconde :
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
Cela fait 4 produits à calculer, puis on réduit.
Là encore, l'image du rectangle aide à comprendre : un rectangle de longueur (a + b) et de largeur (c + d) se découpe en quatre petits rectangles d'aires ac, ad, bc et bd, dont la somme donne l'aire totale. On utilise la double distributivité dès que deux parenthèses contenant chacune une somme se multiplient l'une par l'autre ; s'il n'y a qu'une seule parenthèse, une simple distributivité suffit, inutile de chercher quatre produits. L'erreur la plus fréquente est d'oublier l'un des quatre produits, en général l'un des deux termes croisés ; mieux vaut les écrire un par un avant de réduire, plutôt que de calculer de tête.

Nombres et calculs

Factoriser et utiliser l'identité a² − b²

Factoriser, c'est faire apparaître un produit à la place d'une somme ou d'une différence. Au brevet, deux techniques suffisent : repérer un facteur commun, ou reconnaître l'identité remarquable a² − b². On factorise pour deux raisons : simplifier un calcul (comme 101² − 99² plus bas), ou résoudre une équation du type « produit nul », où un produit ne vaut zéro que si l'un de ses facteurs vaut zéro. Développer et factoriser sont deux opérations inverses : l'une transforme un produit en somme, l'autre une somme en produit, et on peut toujours vérifier l'une par l'autre.

Cette méthode fonctionne grâce à la distributivité : k × a + k × b = k(a + b), lue à l'envers. Elle s'applique dès qu'un facteur se répète, même caché dans une parenthèse comme (x + 1) ci-dessous. Si aucun facteur commun n'apparaît clairement, il faut chercher une identité remarquable plutôt que forcer une factorisation qui n'existe pas.

L'identité remarquable a² − b²

Cette égalité se retrouve en développant le membre de gauche : (a + b)(a − b) = a² − ab + ab − b² = a² − b², les deux termes en ab s'annulent. Elle ne s'applique qu'à une différence de deux carrés : x² + 9 ne se factorise pas avec cette identité, car ce n'est pas une différence mais une somme. Il faut aussi que chaque terme soit un carré : le carré d'un nombre entier (4, 9, 16, 25, 36, 49...) ou le carré d'une expression comme (3x)². C'est pour cette raison que x² − 7 ne se factorise pas au collège : 7 n'est le carré d'aucun nombre entier, l'identité ne peut donc pas être reconnue.

L'identité sert aussi à résoudre une équation sans développer. Pour résoudre x² = 49, on écrit x² − 49 = 0, puis on factorise : (x − 7)(x + 7) = 0. Un produit de deux facteurs est nul seulement si l'un des deux facteurs est nul, donc x − 7 = 0 ou x + 7 = 0, ce qui donne x = 7 ou x = −7. Sans factorisation, on serait tenté de ne garder qu'une seule solution.

Démontrer avec le calcul littéral

Au brevet, on te demande souvent de prouver qu'un résultat est vrai « pour n'importe quel nombre ». Tester avec 2 ou 3 valeurs ne suffit pas : il faut appeler le nombre x (ou n) et calculer. Un nombre pair s'écrit 2n, un nombre impair 2n + 1, deux entiers consécutifs s'écrivent n et n + 1. L'identité a² − b² permet aussi des calculs astucieux : 101² − 99² = (101 + 99)(101 − 99) = 200 × 2 = 400, sans calculatrice !

Exemple mené jusqu'au bout : montrons que la différence des carrés de deux entiers consécutifs est toujours impaire. Le premier entier s'écrit n, le suivant n + 1. On calcule (n + 1)² − n² = n² + 2n + 1 − n² = 2n + 1, qui est impair puisque 2n est pair. Vérification avec n = 4 : 5² − 4² = 25 − 16 = 9, et 2 × 4 + 1 = 9 — le résultat général retombe bien sur l'exemple numérique. Cette méthode — remplacer un nombre par une lettre, puis calculer — permet de prouver une propriété pour tous les nombres, pas seulement pour l'exemple choisi.