Calcul littéral : développer et réduire

Exercices corrigés

1. Développe 4(a - 2).

   • A.4a - 2
   • B.4a + 8
   • C.4a - 8Bonne réponse
   • D.a - 8

   Réponse : C — 4a - 8

   On distribue le 4 sur les deux termes : 4 x a = 4a et 4 x (-2) = -8. Donc 4(a - 2) = 4a - 8. Répondre 4a + 8, c'est avoir perdu le signe moins en chemin : le 4 est positif, il ne change aucun signe. Répondre 4a - 2, c'est avoir oublié la distribution sur le second terme.

2. Quelle est la valeur de l'expression 2x + 5 lorsque x = 3 ?

   • A.16
   • B.10
   • C.11Bonne réponse
   • D.28

   Réponse : C — 11

   On remplace x par 3 en rétablissant le signe de multiplication sous-entendu : 2x + 5 devient 2 x 3 + 5. La multiplication est prioritaire : 2 x 3 = 6, puis 6 + 5 = 11. Répondre 16, c'est avoir calculé 2 x (3 + 5) en ajoutant une parenthèse qui n'existe pas. Répondre 28, c'est avoir collé les chiffres pour écrire 23 + 5.

3. Développe -2(3x - 5).

   • A.-6x - 10
   • B.6x + 10
   • C.-6x + 10Bonne réponse
   • D.-6x - 5

   Réponse : C — -6x + 10

   On distribue le facteur -2 : (-2) x 3x = -6x et (-2) x (-5) = +10 (deux facteurs négatifs donnent un produit positif). Donc -2(3x - 5) = -6x + 10. Répondre -6x - 10, c'est le piège classique : on oublie que multiplier -5 par -2 change le signe. Contrôle avec x = 1 : -2 x (3 - 5) = -2 x (-2) = 4, et -6 + 10 = 4. Parfait.

4. Développe et réduis 5(x + 2) - 3(x - 1).

   • A.8x + 13
   • B.2x + 7
   • C.2x - 13
   • D.2x + 13Bonne réponse

   Réponse : D — 2x + 13

   On développe chaque produit : 5(x + 2) = 5x + 10, et -3(x - 1) = -3x + 3 (attention, -3 x (-1) = +3). On additionne : 5x + 10 - 3x + 3, ce qui donne 2x + 13. Répondre 2x + 7, c'est avoir écrit -3 au lieu de +3 dans le second développement. Contrôle avec x = 4 : à gauche 5 x 6 - 3 x 3 = 21, et à droite 8 + 13 = 21.

5. Développe 3x(2x - 4).

   • A.6x - 12x
   • B.5x² - 12x
   • C.6x² - 12xBonne réponse
   • D.6x² - 4

   Réponse : C — 6x² - 12x

   Le facteur 3x multiplie chacun des deux termes. D'abord 3x x 2x : on multiplie les coefficients (3 x 2 = 6) et les lettres (x x x = x²), ce qui donne 6x². Ensuite 3x x (-4) = -12x. Donc 3x(2x - 4) = 6x² - 12x. Répondre 5x² - 12x, c'est avoir additionné les coefficients 3 et 2 au lieu de les multiplier. Répondre 6x² - 4, c'est avoir oublié le x du facteur dans le second produit.

6. Un rectangle a pour longueur (x + 5) cm et pour largeur 4 cm. Quel est son périmètre, en centimètres, sous forme développée et réduite ?

   • A.4x + 20
   • B.x + 9
   • C.2x + 9
   • D.2x + 18Bonne réponse

   Réponse : D — 2x + 18

   Le périmètre d'un rectangle vaut 2 x (longueur + largeur), soit ici 2 x ((x + 5) + 4) = 2(x + 9). En distribuant : 2 x x + 2 x 9 = 2x + 18 cm. Répondre 4x + 20, c'est avoir calculé l'AIRE (4(x + 5) = 4x + 20), pas le périmètre. Répondre x + 9, c'est avoir oublié de doubler la somme des deux dimensions.

7. Factorise l'expression 6x + 9.

   • A.6(x + 9)
   • B.3(2x + 9)
   • C.3(2x + 3)Bonne réponse
   • D.3x(2 + 3)

   Réponse : C — 3(2x + 3)

   On cherche un facteur commun à 6 et à 9 : c'est 3, car 6 = 3 x 2 et 9 = 3 x 3. On écrit donc 6x + 9 = 3 x 2x + 3 x 3 = 3(2x + 3). Le contrôle se fait en redéveloppant : 3 x 2x = 6x et 3 x 3 = 9, on retombe bien sur l'expression de départ. Répondre 3(2x + 9), c'est avoir oublié de diviser aussi le 9 par 3 ; en redéveloppant, on obtiendrait 6x + 27, ce qui est faux.

8. Développe -(4x - 7).

   • A.-4x - 7
   • B.-4x + 7Bonne réponse
   • C.4x - 7
   • D.4x + 7

   Réponse : B — -4x + 7

   Un signe moins devant une parenthèse revient à multiplier par -1, donc il change le signe de TOUS les termes intérieurs : (-1) x 4x = -4x et (-1) x (-7) = +7. Donc -(4x - 7) = -4x + 7. Répondre -4x - 7, c'est l'erreur classique : on n'a changé que le premier signe. Contrôle avec x = 2 : -(8 - 7) = -1, et -8 + 7 = -1. C'est bien cela.

9. Pour quelles valeurs de x l'égalité 3(x + 2) = 3x + 6 est-elle vraie ?

   • A.Pour toutes les valeurs de xBonne réponse
   • B.Seulement pour x = 0
   • C.Seulement pour x = 2
   • D.Pour aucune valeur de x

   Réponse : A — Pour toutes les valeurs de x

   En développant le membre de gauche, on obtient exactement 3x + 6 : les deux membres sont donc deux écritures différentes du MÊME nombre, quelle que soit la valeur de x. Une telle égalité, vraie pour toutes les valeurs, s'appelle une identité, et c'est précisément ce que garantit la distributivité. Teste pour t'en convaincre : avec x = 5, à gauche 3 x 7 = 21 et à droite 15 + 6 = 21 ; avec x = -1, à gauche 3 x 1 = 3 et à droite -3 + 6 = 3. C'est justement ce qui distingue un développement d'une équation : une équation n'est vraie que pour certaines valeurs, un développement l'est toujours.

10. Développe 3(x + 5).

    • A.3x + 5
    • B.3x + 15Bonne réponse
    • C.x + 15
    • D.8x

    Réponse : B — 3x + 15

    Le facteur 3 multiplie CHACUN des deux termes de la parenthèse : 3 x x = 3x et 3 x 5 = 15. Donc 3(x + 5) = 3x + 15. Répondre 3x + 5, c'est avoir oublié de distribuer sur le 5, l'erreur la plus fréquente du chapitre. Test rapide avec x = 2 : à gauche 3 x 7 = 21, et 3 x 2 + 15 = 21. C'est cohérent.

11. Réduis l'expression 5x + 3x.

    • A.8xBonne réponse
    • B.8x²
    • C.15x
    • D.8 + x

    Réponse : A — 8x

    Les deux termes ont la même partie littérale x : ils sont semblables, on additionne donc simplement leurs coefficients. 5 + 3 = 8, donc 5x + 3x = 8x. Répondre 8x², c'est avoir aussi multiplié les lettres entre elles : ici on ADDITIONNE, la partie littérale ne change pas. Répondre 15x, c'est avoir multiplié 5 par 3.

12. Réduis l'expression 7x + 4 - 2x + 3.

    • A.9x + 7
    • B.5x + 1
    • C.12x
    • D.5x + 7Bonne réponse

    Réponse : D — 5x + 7

    On regroupe séparément les termes en x et les nombres seuls. Termes en x : 7x - 2x = 5x. Nombres : 4 + 3 = 7. Résultat : 5x + 7. Répondre 9x + 7, c'est avoir additionné 7x et 2x en oubliant le signe moins. Répondre 12x, c'est avoir tout mélangé : on ne peut jamais additionner un terme en x avec un nombre seul.