Les puissances

Exercices corrigés

1. Combien vaut 5³ ?

   • A.15
   • B.125Bonne réponse
   • C.53
   • D.10

   Réponse : B — 125

   5³ signifie 5 x 5 x 5, soit trois facteurs égaux à 5. On calcule 5 x 5 = 25, puis 25 x 5 = 125. Répondre 15, c'est avoir fait 5 x 3 : l'exposant compte les facteurs, il n'en est pas un. Répondre 53, c'est avoir simplement recopié les deux chiffres l'un après l'autre.

2. Combien vaut 10⁻³ ?

   • A.0,001Bonne réponse
   • B.-1 000
   • C.0,0001
   • D.-0,001

   Réponse : A — 0,001

   Un exposant négatif signifie « inverse » : 10⁻³ = 1/10³ = 1/1000 = 0,001. Le résultat est POSITIF : le signe moins porte sur l'exposant, jamais sur le nombre. Répondre -1000, c'est confondre 10⁻³ avec -10³. Répondre 0,0001, c'est avoir compté un rang de trop : il y a bien 3 rangs après la virgule pour l'exposant -3.

3. Combien vaut 2⁵ ?

   • A.10
   • B.25
   • C.16
   • D.32Bonne réponse

   Réponse : D — 32

   2⁵ = 2 x 2 x 2 x 2 x 2. On calcule pas à pas : 2 x 2 = 4, x 2 = 8, x 2 = 16, x 2 = 32. Il faut bien cinq facteurs. Répondre 16, c'est s'être arrêté à 2⁴ (une erreur très fréquente, on oublie un facteur). Répondre 10, c'est avoir fait 2 x 5.

4. Quelle est la notation scientifique du nombre 4 500 ?

   • A.45 x 10²
   • B.4,5 x 10³Bonne réponse
   • C.0,45 x 10⁴
   • D.4,5 x 10⁴

   Réponse : B — 4,5 x 10³

   En notation scientifique, la partie avant le x doit avoir UN SEUL chiffre non nul avant la virgule : ici, ce sera 4,5. On a déplacé la virgule de 3 rangs vers la gauche, et le nombre est grand, donc l'exposant vaut +3 : 4 500 = 4,5 x 10³. Les écritures 45 x 10² et 0,45 x 10⁴ valent bien 4 500, mais elles ne respectent pas la règle du chiffre unique : ce ne sont pas des notations scientifiques. Quant à 4,5 x 10⁴, il vaut 45 000, donc dix fois trop.

5. Combien vaut 10⁵ x 10³ ?

   • A.10¹⁵
   • B.10⁸Bonne réponse
   • C.100⁸
   • D.10²

   Réponse : B — 10⁸

   Quand on multiplie deux puissances de même base, les exposants s'AJOUTENT : 10⁵ x 10³ = 10⁵⁺³ = 10⁸. Répondre 10¹⁵, c'est avoir multiplié les exposants (règle valable seulement pour une puissance de puissance). Répondre 100⁸, c'est avoir aussi multiplié les bases : la base ne bouge pas. Vérification : 100 000 x 1 000 = 100 000 000, soit bien 10⁸.

6. Combien vaut (10³)⁴ ?

   • A.10⁷
   • B.10⁸¹
   • C.10³⁴
   • D.10¹²Bonne réponse

   Réponse : D — 10¹²

   Pour une puissance de puissance, les exposants se MULTIPLIENT : (10³)⁴ = 10³ˣ⁴ = 10¹². On peut le comprendre autrement : (10³)⁴ = 10³ x 10³ x 10³ x 10³, soit quatre fois l'exposant 3, donc 12 au total. Répondre 10⁷, c'est avoir additionné les exposants, ce qui est la règle du produit, pas celle-ci.

7. Quelle est l'écriture décimale de 3 x 10⁻² ?

   • A.0,3
   • B.-300
   • C.300
   • D.0,03Bonne réponse

   Réponse : D — 0,03

   10⁻² = 0,01, donc 3 x 10⁻² = 3 x 0,01 = 0,03. Autrement dit, l'exposant -2 fait reculer la virgule de 2 rangs vers la gauche : 3 devient 0,03. Répondre 0,3 correspond à 3 x 10⁻¹ : on n'a reculé que d'un rang. Répondre -300, c'est croire qu'un exposant négatif rend le nombre négatif, ce qui est faux.

8. Quelle est la notation scientifique de 0,000 62 ?

   • A.62 x 10⁻⁵
   • B.6,2 x 10⁻⁴Bonne réponse
   • C.6,2 x 10⁴
   • D.0,62 x 10⁻³

   Réponse : B — 6,2 x 10⁻⁴

   Le premier chiffre non nul est 6 : on écrit donc 6,2. Pour retrouver 0,000 62 à partir de 6,2, il faut reculer la virgule de 4 rangs, donc l'exposant est -4 : 0,000 62 = 6,2 x 10⁻⁴. Les écritures 62 x 10⁻⁵ et 0,62 x 10⁻³ ont la bonne valeur mais pas la bonne forme (il faut un seul chiffre de 1 à 9 avant la virgule). Enfin 6,2 x 10⁴ = 62 000, soit un nombre immense au lieu d'un nombre minuscule.

9. Combien vaut 2³ x 2⁴ ?

   • A.2¹²
   • B.64
   • C.128Bonne réponse
   • D.256

   Réponse : C — 128

   Même base, donc les exposants s'ajoutent : 2³ x 2⁴ = 2³⁺⁴ = 2⁷. Il reste à calculer 2⁷ = 128 (car 2⁵ = 32, 2⁶ = 64 et 2⁷ = 128). Vérification directe : 2³ = 8, 2⁴ = 16, et 8 x 16 = 128. Répondre 64, c'est s'être arrêté à 2⁶ ; répondre 2¹², c'est avoir multiplié les exposants au lieu de les ajouter.

10. Combien vaut (2 x 10³) x (4 x 10⁵) ?

    • A.8 x 10⁸Bonne réponse
    • B.6 x 10⁸
    • C.8 x 10¹⁵
    • D.2 x 10⁸

    Réponse : A — 8 x 10⁸

    On regroupe les nombres d'un côté et les puissances de 10 de l'autre : (2 x 4) x (10³ x 10⁵) = 8 x 10⁸. Les exposants s'ajoutent car il s'agit d'un produit de même base. Répondre 6 x 10⁸, c'est avoir ADDITIONNÉ 2 et 4 au lieu de les multiplier ; répondre 8 x 10¹⁵, c'est avoir multiplié les exposants. Le résultat 8 x 10⁸ est déjà en notation scientifique.

11. Quelle est la notation scientifique de 45 x 10⁵ ?

    • A.4,5 x 10⁶Bonne réponse
    • B.450 000
    • C.4,5 x 10⁴
    • D.4,5 x 10⁷

    Réponse : A — 4,5 x 10⁶

    L'écriture 45 x 10⁵ n'est pas scientifique, car 45 a deux chiffres avant la virgule. On transforme 45 en 4,5 x 10, ce qui donne 4,5 x 10 x 10⁵ = 4,5 x 10⁶. Retiens la logique : en divisant le premier nombre par 10, on doit multiplier la puissance par 10, donc AUGMENTER l'exposant de 1. Répondre 4,5 x 10⁴, c'est avoir diminué l'exposant, ce qui divise le nombre par 100 au lieu de le conserver.

12. Combien vaut (3 x 10⁴) / (6 x 10⁻²), en notation scientifique ?

    • A.2 x 10⁶
    • B.5 x 10⁵Bonne réponse
    • C.5 x 10²
    • D.0,5 x 10²

    Réponse : B — 5 x 10⁵

    On sépare les deux parties. D'une part 3 / 6 = 0,5. D'autre part 10⁴ / 10⁻² = 10⁴⁻⁽⁻²⁾ = 10⁴⁺² = 10⁶ : soustraire -2 revient à ajouter 2. On obtient 0,5 x 10⁶, qui n'est pas encore une notation scientifique. On corrige en multipliant 0,5 par 10 et en retirant 1 à l'exposant : 5 x 10⁵. Répondre 2 x 10⁶, c'est avoir calculé 6/3 au lieu de 3/6 : attention au sens de la division.