Pyramides et cônes : volumes
Quatrième · Maths · Grandeurs et mesures
Grandeurs et mesures
Connaître les pyramides et les cônes
Tu sais déjà calculer le volume d'un pavé droit, d'un prisme et d'un cylindre : à chaque fois, on multiplie l'aire de la base par la hauteur. Les pyramides et les cônes sont les solides « pointus » correspondants — et une surprise t'attend : leur volume est exactement trois fois plus petit.
Ne pas confondre hauteur et arête latérale
C'est la confusion la plus fréquente. La hauteur descend tout droit du sommet vers la base, en formant un angle droit avec elle. L'arête latérale (pour une pyramide) ou la génératrice (pour un cône) part du sommet et rejoint le bord de la base : elle est toujours plus longue que la hauteur. Seule la hauteur intervient dans la formule du volume.
| Élément | Pyramide | Cône de révolution |
|---|---|---|
| Base | Un polygone (carré, triangle, rectangle…) | Un disque de rayon r |
| Faces latérales | Des triangles | Une seule surface courbe |
| Hauteur | Du sommet S, perpendiculaire à la base | Du sommet S au centre du disque |
| Autre longueur | Arête latérale (vers un sommet de la base) | Génératrice (vers le bord du disque) |
| Aire de la base | Selon le polygone (côté × côté pour un carré…) | π × r × r |
Grandeurs et mesures
Calculer un volume
Retrouver une donnée manquante
Si on connaît le volume et qu'on cherche la hauteur ou l'aire de la base, il suffit de « remonter » la formule. Comme V = (B × h)/3, on obtient B × h = 3 × V, puis :
h = (3 × V) / B ou bien B = (3 × V) / h.
Le réflexe : commence toujours par multiplier le volume par 3 pour te débarrasser du tiers.
Les unités de volume et de contenance
- 1 dm³ = 1 L : c'est l'égalité pivot, celle qu'il faut connaître par cœur.
- 1 cm³ = 1 mL, donc 1 000 cm³ = 1 L.
- 1 m³ = 1 000 dm³ = 1 000 L.
- Quand on passe d'une unité de longueur à la suivante, le volume est multiplié ou divisé par 1 000 (et non par 10).
Exercices corrigés
Quelle est la formule du volume d'une pyramide ?
- A.(aire de la base × hauteur) / 3Bonne réponse
- B.aire de la base × hauteur
- C.(périmètre de la base × hauteur) / 3
- D.aire de la base × hauteur × 3
Réponse : A — (aire de la base × hauteur) / 3
Le volume d'une pyramide vaut le tiers du produit de l'aire de sa base par sa hauteur. La formule « aire de la base × hauteur » est celle du prisme droit : la pyramide, plus pointue, en occupe exactement le tiers. Attention aussi à ne pas utiliser le périmètre de la base : c'est bien une AIRE qu'il faut, exprimée en cm² ou en m².
Une pyramide a une base d'aire 12 cm² et une hauteur de 5 cm. Quel est son volume ?
- A.60 cm³
- B.20 cm³Bonne réponse
- C.30 cm³
- D.17 cm³
Réponse : B — 20 cm³
On applique la formule : V = (12 × 5)/3 = 60/3 = 20 cm³. La réponse 60 cm³ est le piège classique : c'est le volume du prisme correspondant, on a oublié de diviser par 3. Quant à 17 cm³, cela reviendrait à additionner 12 + 5, ce qui n'a pas de sens pour un volume — on ne peut pas additionner une aire et une longueur.
Un cône de révolution a un rayon de 3 cm et une hauteur de 10 cm. Quelle est la valeur exacte de son volume ?
- A.90π cm³
- B.10π cm³
- C.30π cm³Bonne réponse
- D.9π cm³
Réponse : C — 30π cm³
Aire de la base : π × 3 × 3 = 9π cm². Volume = (9π × 10)/3 = 90π/3 = 30π cm³. La réponse 90π cm³ oublie la division par 3 : c'est le volume du cylindre de même base et de même hauteur. La réponse 9π cm³ correspond seulement à l'aire de la base, sans tenir compte de la hauteur. (Valeur approchée du bon résultat : 30 × 3,14 ≈ 94 cm³.)
Une pyramide a pour base un carré de côté 6 cm et pour hauteur 10 cm. Quel est son volume ?
- A.360 cm³
- B.120 cm³Bonne réponse
- C.60 cm³
- D.240 cm³
Réponse : B — 120 cm³
Deux étapes. D'abord l'aire de la base, qui est un carré : 6 × 6 = 36 cm². Ensuite le volume : (36 × 10)/3 = 360/3 = 120 cm³. La réponse 360 cm³ correspond au prisme de même base et même hauteur : le tiers a été oublié. La réponse 60 cm³ viendrait d'utiliser 6 × 10/1 puis de diviser : elle confond le côté du carré avec l'aire de la base.
Un cône de révolution a un rayon de 5 cm et une hauteur de 12 cm. Quel est son volume, arrondi au cm³ près ?
- A.942 cm³
- B.100 cm³
- C.628 cm³
- D.314 cm³Bonne réponse
Réponse : D — 314 cm³
Aire de la base : π × 5 × 5 = 25π cm². Volume = (25π × 12)/3 = 300π/3 = 100π cm³. En valeur approchée : 100 × 3,1416 ≈ 314,2, donc environ 314 cm³. La réponse 942 cm³ vaut 300π : c'est l'oubli de la division par 3, soit le volume du cylindre. La réponse 100 cm³ confond la valeur exacte 100π avec le nombre 100 : il ne faut pas oublier de multiplier par π.
Un cylindre et un cône ont exactement la même base et la même hauteur. Le volume du cône est alors :
- A.le tiers de celui du cylindreBonne réponse
- B.la moitié de celui du cylindre
- C.le double de celui du cylindre
- D.égal à celui du cylindre
Réponse : A — le tiers de celui du cylindre
Le volume du cylindre vaut aire de la base × hauteur, tandis que celui du cône vaut (aire de la base × hauteur)/3 : le cône occupe donc exactement le tiers du cylindre. C'est vérifiable expérimentalement — il faut remplir trois fois le cône d'eau pour remplir le cylindre. La même relation vaut entre une pyramide et un prisme de même base et de même hauteur.
Une pyramide a un volume de 48 cm³ et une hauteur de 9 cm. Quelle est l'aire de sa base ?
- A.5,33 cm²
- B.48 cm²
- C.16 cm²Bonne réponse
- D.144 cm²
Réponse : C — 16 cm²
On remonte la formule V = (B × h)/3. D'abord on se débarrasse du tiers : B × h = 3 × V = 3 × 48 = 144. Ensuite on divise par la hauteur : B = 144/9 = 16 cm². Vérification : (16 × 9)/3 = 144/3 = 48 cm³, c'est bien le volume donné. La réponse 5,33 cm² vient de 48/9, en oubliant de multiplier d'abord par 3 ; la réponse 144 cm² s'arrête au milieu du calcul.
Une pyramide a pour base un rectangle de 4 cm sur 5 cm et pour hauteur 6 cm. Quel est son volume ?
- A.120 cm³
- B.40 cm³Bonne réponse
- C.30 cm³
- D.60 cm³
Réponse : B — 40 cm³
Aire de la base : 4 × 5 = 20 cm². Volume = (20 × 6)/3 = 120/3 = 40 cm³. La réponse 120 cm³ est le volume du pavé droit correspondant : la division par 3 a été oubliée. La réponse 30 cm³ viendrait d'une base mal calculée. Petit contrôle de cohérence : le volume d'une pyramide est toujours nettement inférieur à celui de la boîte qui la contient.
Un cône de révolution a un volume de 100π cm³ et un rayon de 5 cm. Quelle est sa hauteur ?
- A.4 cm
- B.6 cm
- C.20 cm
- D.12 cmBonne réponse
Réponse : D — 12 cm
L'aire de la base vaut π × 5 × 5 = 25π cm². On remonte la formule : B × h = 3 × V = 3 × 100π = 300π. Donc h = 300π / 25π = 12 cm (les π se simplifient). Vérification : (25π × 12)/3 = 300π/3 = 100π cm³, c'est bien le volume donné. La réponse 4 cm vient de 100/25 en oubliant de multiplier le volume par 3.
Un récipient conique contient 0,5 L d'eau. Cela correspond à un volume de :
- A.500 cm³Bonne réponse
- B.50 cm³
- C.5 000 cm³
- D.0,5 cm³
Réponse : A — 500 cm³
Pars de l'égalité pivot : 1 L = 1 dm³ = 1 000 cm³. Donc 0,5 L = 0,5 × 1 000 = 500 cm³. La réponse 50 cm³ revient à multiplier par 100 au lieu de 1 000 : c'est l'erreur classique qui consiste à raisonner comme avec des longueurs. Souviens-toi qu'entre deux unités de volume successives, le facteur est toujours 1 000.
SABCD est une pyramide à base carrée de côté 8 cm, dont la hauteur [SH] mesure 9 cm. Quel est son volume ?
- A.576 cm³
- B.64 cm³
- C.288 cm³
- D.192 cm³Bonne réponse
Réponse : D — 192 cm³
Aire de la base : 8 × 8 = 64 cm². Volume = (64 × 9)/3 = 576/3 = 192 cm³. La réponse 576 cm³ correspond au prisme : la division par 3 manque. La réponse 288 cm³ correspond à une division par 2 au lieu de 3 — une confusion avec la formule de l'aire d'un triangle. Et 64 cm² est seulement l'aire de la base : ce n'est même pas un volume, son unité le trahit.
Un cône de rayon 6 cm a exactement le même volume qu'un cylindre de rayon 6 cm et de hauteur 4 cm. Quelle est la hauteur du cône ?
- A.4 cm
- B.12 cmBonne réponse
- C.8 cm
- D.36 cm
Réponse : B — 12 cm
Les deux solides ont la même base, d'aire π × 6 × 6 = 36π cm². Volume du cylindre : 36π × 4 = 144π cm³. Pour le cône : (36π × h)/3 = 12π × h. On veut 12π × h = 144π, donc h = 144/12 = 12 cm. C'est cohérent avec la règle du tiers : à base égale, le cône doit être trois fois plus haut que le cylindre pour rattraper son volume (3 × 4 = 12).
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Ce chapitre compte 36 exercices corrigés dans l'application, avec le suivi de ta progression.
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