Vitesse et grandeurs quotients
Quatrième · Maths · Grandeurs et mesures
Grandeurs et mesures
La vitesse moyenne et ses unités
Quand tu dis « la voiture roule à 90 km/h », tu ne parles pas d'une distance, ni d'une durée : tu parles d'une grandeur quotient, une grandeur fabriquée en divisant une grandeur par une autre. La vitesse est la plus célèbre d'entre elles, mais tu vas voir qu'elles fonctionnent toutes exactement pareil.
Attention au mot moyenne : si tu parcours 120 km en 2 h, ta vitesse moyenne est de 60 km/h, même si tu as roulé à 130 km/h sur l'autoroute et à 0 km/h dans un bouchon. La vitesse moyenne lisse tout le trajet.
Les trois formules du triangle
De l'égalité v = d/t on tire deux autres formules, très utiles selon ce que tu cherches. Il n'y a rien de nouveau à apprendre : c'est le même produit en croix que dans un tableau de proportionnalité.
| Ce que tu cherches | Formule | Exemple |
|---|---|---|
| La vitesse v | v = d / t | 240 km en 3 h : v = 240 / 3 = 80 km/h |
| La distance d | d = v × t | 70 km/h pendant 2 h : d = 70 × 2 = 140 km |
| La durée t | t = d / v | 300 km à 50 km/h : t = 300 / 50 = 6 h |
Grandeurs et mesures
Les autres grandeurs quotients
La vitesse n'est qu'un exemple. Dès que tu divises une grandeur par une autre, tu fabriques une grandeur quotient. Tu en rencontres tous les jours : le prix au kilo, le débit d'un robinet, la consommation d'une voiture, la masse volumique d'un métal, la densité de population d'un pays.
| Grandeur quotient | Calcul | Unité usuelle | Ce que ça signifie |
|---|---|---|---|
| Vitesse | distance ÷ durée | km/h ou m/s | distance parcourue en 1 heure |
| Prix unitaire | prix ÷ quantité | €/kg | prix de 1 kg |
| Débit | volume ÷ durée | L/min ou m³/h | volume écoulé en 1 minute |
| Masse volumique | masse ÷ volume | g/cm³ ou kg/m³ | masse de 1 cm³ de matière |
| Consommation | volume ÷ distance | L/100 km | carburant brûlé sur 100 km |
| Densité de population | nombre d'habitants ÷ aire | hab/km² | nombre d'habitants sur 1 km² |
Toujours la même méthode
- Une grandeur quotient est une situation de proportionnalité : c'est exactement le coefficient de proportionnalité du tableau.
- Comparer deux offres, deux matériaux ou deux trajets revient toujours à comparer leurs grandeurs quotients — à condition de les exprimer dans la même unité.
- Une grandeur quotient peut se convertir : 1 g/cm³ = 1 000 kg/m³, et 1 m/s = 3,6 km/h.
Exercices corrigés
Quelle formule donne la vitesse moyenne v en fonction de la distance d et de la durée t ?
- A.v = d × t
- B.v = t / d
- C.v = d / tBonne réponse
- D.v = d + t
Réponse : C — v = d / t
La vitesse est une grandeur quotient : on divise la distance parcourue par la durée du parcours, donc v = d / t. Son unité le confirme : des km/h, ce sont bien des kilomètres divisés par des heures. La formule v = d × t donnerait des km×h, ce qui n'a aucun sens, et v = t / d donnerait des h/km, c'est-à-dire le temps mis pour faire 1 km (une autre grandeur !).
Une voiture parcourt 150 km en 2 heures. Quelle est sa vitesse moyenne ?
- A.300 km/h
- B.75 km/hBonne réponse
- C.152 km/h
- D.148 km/h
Réponse : B — 75 km/h
v = d / t = 150 / 2 = 75 km/h. Vérifions dans l'autre sens : à 75 km/h pendant 2 h, on parcourt 75 × 2 = 150 km. C'est cohérent. Répondre 300 km/h, c'est avoir multiplié au lieu de diviser ; 152 et 148 km/h viennent d'une addition ou d'une soustraction, or on n'additionne jamais des kilomètres et des heures.
Un cycliste roule à la vitesse moyenne de 20 km/h pendant 3 heures. Quelle distance parcourt-il ?
- A.6,67 km
- B.23 km
- C.60 kmBonne réponse
- D.17 km
Réponse : C — 60 km
Ici on cherche une distance, donc on utilise d = v × t = 20 × 3 = 60 km. Le raisonnement en mots : 20 km chaque heure, pendant 3 heures, cela fait 20 + 20 + 20 = 60 km. Répondre 6,67 km (= 20/3), c'est avoir divisé au lieu de multiplier ; 23 km et 17 km viennent d'une addition ou d'une soustraction, impossibles avec des unités différentes.
Qu'appelle-t-on la masse volumique d'un matériau ?
- A.Le produit de sa masse par son volume
- B.Le quotient de sa masse par son volumeBonne réponse
- C.Le quotient de son volume par sa masse
- D.La masse d'un litre d'eau
Réponse : B — Le quotient de sa masse par son volume
La masse volumique est une grandeur quotient : masse ÷ volume, exprimée par exemple en g/cm³. Elle indique la masse de UN centimètre cube de matière. L'unité te donne toujours l'ordre de la division : des g/cm³, ce sont des grammes au-dessus et des cm³ en dessous. Le quotient volume ÷ masse existe aussi (on l'appelle volume massique), mais ce n'est pas la même grandeur.
Que signifie exactement une vitesse de 5 m/s ?
- A.L'objet parcourt 5 mètres en 1 secondeBonne réponse
- B.L'objet met 5 secondes pour parcourir 1 mètre
- C.L'objet parcourt 5 kilomètres en 1 heure
- D.L'objet parcourt 5 mètres au total
Réponse : A — L'objet parcourt 5 mètres en 1 seconde
Une unité de grandeur quotient se lit avec le mot « par » : 5 m/s, ce sont 5 mètres PAR seconde, donc 5 mètres parcourus en 1 seconde. L'option 2 décrit l'inverse (5 s/m). L'option 3 confondrait m/s et km/h : d'ailleurs 5 m/s = 5 × 3,6 = 18 km/h. L'option 4 confond vitesse et distance : une vitesse ne dit rien sur la distance totale, seulement sur la distance par unité de temps.
Un robinet remplit un seau de 30 litres en 5 minutes. Quel est son débit ?
- A.150 L/min
- B.6 L/minBonne réponse
- C.0,17 L/min
- D.35 L/min
Réponse : B — 6 L/min
Le débit est un volume divisé par une durée : 30 / 5 = 6 L/min. Autrement dit, le robinet laisse passer 6 litres chaque minute. Contrôle : 6 L/min pendant 5 min donnent 6 × 5 = 30 L. Répondre 150 L/min, c'est multiplier au lieu de diviser ; 0,17 L/min (= 5/30) inverse la division et donnerait des min/L.
Un scooter parcourt 90 km en 1 h 30 min. Quelle est sa vitesse moyenne ?
- A.45 km/h
- B.60 km/hBonne réponse
- C.69,2 km/h
- D.135 km/h
Réponse : B — 60 km/h
Il faut d'abord convertir la durée en heures : 30 min = 0,5 h, donc 1 h 30 min = 1,5 h (et surtout PAS 1,30 h !). Ensuite v = 90 / 1,5 = 60 km/h. Vérification : à 60 km/h, en 1 h on fait 60 km et en 30 min 30 km, soit 90 km au total. Répondre 45 km/h, c'est avoir divisé par 2 h ; répondre 69,2 km/h, c'est le résultat de 90 ÷ 1,30, l'erreur classique sur la conversion des minutes.
Convertis 72 km/h en mètres par seconde.
- A.20 m/sBonne réponse
- B.7,2 m/s
- C.259,2 m/s
- D.0,02 m/s
Réponse : A — 20 m/s
Pour passer des km/h aux m/s, on divise par 3,6 : 72 / 3,6 = 20 m/s. Tu peux aussi le retrouver à la main : 72 km/h, c'est 72 000 m parcourus en 3 600 s, donc 72 000 / 3 600 = 20 m/s. Répondre 259,2 m/s, c'est avoir multiplié par 3,6 au lieu de diviser — impossible, une valeur en m/s est toujours plus petite que la même vitesse en km/h.
Convertis 15 m/s en kilomètres par heure.
- A.4,17 km/h
- B.150 km/h
- C.1,5 km/h
- D.54 km/hBonne réponse
Réponse : D — 54 km/h
Pour passer des m/s aux km/h, on multiplie par 3,6 : 15 × 3,6 = 54 km/h. Détail du calcul : en 1 s on fait 15 m, donc en 1 h (3 600 s) on fait 15 × 3 600 = 54 000 m, soit 54 km. Répondre 4,17 km/h (= 15 ÷ 3,6), c'est la conversion faite à l'envers ; 150 km/h reviendrait à multiplier par 10.
3 kg de pommes coûtent 7,50 €. Combien coûtent 5 kg de ces mêmes pommes ?
- A.9,50 €
- B.11,25 €
- C.4,50 €
- D.12,50 €Bonne réponse
Réponse : D — 12,50 €
On passe par la grandeur quotient, c'est-à-dire le prix au kilo : 7,50 / 3 = 2,50 €/kg. Puis pour 5 kg : 2,50 × 5 = 12,50 €. Répondre 9,50 €, c'est ajouter 2 € parce qu'il y a 2 kg de plus — mais on n'ajoute pas des euros comme des kilos, il faut passer par le prix unitaire. Répondre 4,50 €, c'est 7,50 ÷ 5 × 3, une inversion du raisonnement, et cela donnerait moins cher pour PLUS de pommes : impossible.
Une voiture consomme 6 L aux 100 km. Quelle quantité de carburant consomme-t-elle sur un trajet de 250 km ?
- A.15 LBonne réponse
- B.24 L
- C.1,5 L
- D.41,7 L
Réponse : A — 15 L
250 km, c'est 250 / 100 = 2,5 fois la distance de référence de 100 km. La consommation est donc de 6 × 2,5 = 15 L. Autre façon de voir : la consommation vaut 6/100 = 0,06 L/km, donc 0,06 × 250 = 15 L. Répondre 41,7 L, c'est avoir divisé 250 par 6, ce qui donne des km/L et non des litres.
Un pays compte 4 200 000 habitants pour une superficie de 70 000 km². Quelle est sa densité de population ?
- A.6 hab/km²
- B.600 hab/km²
- C.60 hab/km²Bonne réponse
- D.16,7 hab/km²
Réponse : C — 60 hab/km²
La densité de population est le nombre d'habitants divisé par l'aire : 4 200 000 / 70 000. Simplifions en supprimant quatre zéros de chaque côté : 420 / 7 = 60. La densité est donc de 60 hab/km², c'est-à-dire 60 habitants en moyenne sur chaque kilomètre carré. Répondre 16,7 hab/km² (= 70 000 / 4 200 000 × 1000) inverse la division. L'unité te dit l'ordre : des hab/km², donc les habitants au-dessus.
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