Calculer des probabilités

Exercices corrigés

1. Un sac contient 3 boules rouges et 5 boules bleues, indiscernables au toucher. On en tire une au hasard. Quelle est la probabilité d'obtenir une boule rouge ?

   • A.3/5
   • B.1/3
   • C.5/8
   • D.3/8Bonne réponse

   Réponse : D — 3/8

   Le nombre total de boules est 3 + 5 = 8 : c'est le dénominateur. Les issues favorables sont les 3 boules rouges. Donc P(rouge) = 3/8. Le piège le plus fréquent est de répondre 3/5, en mettant au dénominateur le nombre de boules bleues au lieu du total. Répondre 5/8, c'est calculer la probabilité de tirer une bleue, c'est-à-dire l'événement contraire.

2. Entre quelles valeurs une probabilité est-elle toujours comprise ?

   • A.Entre 0 et 1Bonne réponse
   • B.Entre 0 et 100
   • C.Entre 1 et 10
   • D.Entre −1 et 1

   Réponse : A — Entre 0 et 1

   Une probabilité est un quotient d'un nombre d'issues favorables par un nombre d'issues possibles : le numérateur ne peut jamais dépasser le dénominateur, donc le résultat va de 0 (impossible) à 1 (certain). On peut aussi l'exprimer en pourcentage, de 0 % à 100 %, mais c'est alors une écriture différente du même nombre. Si un calcul te donne 1,4 ou un nombre négatif, c'est qu'il y a une erreur.

3. La probabilité qu'un événement A se réalise est 0,3. Quelle est la probabilité de l'événement contraire ?

   • A.0,3
   • B.1,3
   • C.0,7Bonne réponse
   • D.−0,3

   Réponse : C — 0,7

   Un événement et son contraire couvrent toutes les possibilités, donc P(A) + P(non A) = 1. On en déduit P(non A) = 1 − 0,3 = 0,7. Vérification : 0,3 + 0,7 = 1. Répondre 1,3, c'est ajouter au lieu de soustraire, ce qui donnerait une probabilité supérieure à 1, donc impossible. Attention aussi : le contraire d'un événement ne consiste pas à inverser la fraction.

4. Une urne contient 12 boules dont 4 vertes. On tire une boule au hasard. Quelle est la probabilité de NE PAS obtenir une boule verte ?

   • A.1/3
   • B.4/12
   • C.8/4
   • D.2/3Bonne réponse

   Réponse : D — 2/3

   Deux chemins mènent au résultat. Directement : il y a 12 − 4 = 8 boules non vertes, donc P = 8/12 = 2/3. Par l'événement contraire : P(verte) = 4/12 = 1/3, donc P(non verte) = 1 − 1/3 = 2/3. Les deux méthodes concordent. Les options 1/3 et 4/12 correspondent à la probabilité de tirer une boule verte, c'est-à-dire exactement l'événement contraire de celui demandé : relis toujours si l'énoncé contient une négation.

5. On lance un dé équilibré à 6 faces. Quelle est la probabilité d'obtenir un résultat supérieur ou égal à 5 ?

   • A.1/3Bonne réponse
   • B.1/6
   • C.5/6
   • D.2/3

   Réponse : A — 1/3

   « Supérieur ou égal à 5 » regroupe les issues 5 et 6, soit 2 issues favorables sur 6. Donc P = 2/6 = 1/3. Le piège classique consiste à oublier le 5 lui-même à cause du mot « supérieur » et à ne compter que le 6, ce qui donnerait 1/6. Attention : « strictement supérieur à 5 » n'aurait retenu que le 6, mais ici le « ou égal » inclut bien la face 5.

6. On tire une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes bien battu. Quelle est la probabilité d'obtenir un cœur ?

   • A.1/8
   • B.1/4Bonne réponse
   • C.1/32
   • D.4/32

   Réponse : B — 1/4

   Un jeu de 32 cartes comporte 4 couleurs (cœur, carreau, pique, trèfle) réparties équitablement, soit 32/4 = 8 cartes de cœur. La probabilité est donc 8/32, qui se simplifie en 1/4. On pouvait aussi raisonner directement : les quatre couleurs sont équiprobables, donc chacune a une chance sur quatre. Répondre 1/32, c'est calculer la probabilité de tirer une carte précise, et non une couleur entière.

7. Une urne contient 5 boules rouges, 3 bleues et 2 jaunes. Quelle est la probabilité de tirer une boule qui ne soit pas rouge ?

   • A.3/10
   • B.2/10
   • C.1/2Bonne réponse
   • D.5/3

   Réponse : C — 1/2

   Le nombre total de boules est 5 + 3 + 2 = 10. Les boules non rouges sont les bleues et les jaunes, soit 3 + 2 = 5 boules. Donc P = 5/10 = 1/2. Par l'événement contraire, on trouve la même chose : P(rouge) = 5/10 = 1/2, donc P(non rouge) = 1 − 1/2 = 1/2. Les options 3/10 et 2/10 ne prennent en compte qu'une seule des deux couleurs. Quant à 5/3, elle est supérieure à 1 : c'est impossible pour une probabilité.

8. Une probabilité vaut 0,25. Quelle est son écriture en pourcentage ?

   • A.2,5 %
   • B.0,25 %
   • C.75 %
   • D.25 %Bonne réponse

   Réponse : D — 25 %

   Pour passer d'un nombre décimal à un pourcentage, on multiplie par 100 : 0,25 × 100 = 25 %. On peut aussi remarquer que 0,25 = 25/100 = 1/4, ce qui correspond bien à une chance sur quatre. Répondre 75 %, c'est donner la probabilité de l'événement contraire (1 − 0,25 = 0,75). Répondre 2,5 % ou 0,25 %, c'est se tromper d'un facteur 10 ou 100 en déplaçant mal la virgule.

9. Une roue de loterie est partagée en 8 secteurs identiques, dont 3 sont gagnants. Quelle est la probabilité de gagner en la faisant tourner une fois ?

   • A.3/8Bonne réponse
   • B.1/8
   • C.5/8
   • D.3/5

   Réponse : A — 3/8

   Les 8 secteurs étant identiques, il y a équiprobabilité : chaque secteur a une chance sur 8 d'être désigné. Trois d'entre eux sont gagnants, donc P(gagner) = 3/8. Répondre 5/8, c'est calculer la probabilité de perdre, l'événement contraire (et on vérifie que 3/8 + 5/8 = 1). Répondre 3/5, c'est comparer les secteurs gagnants aux secteurs perdants au lieu de les rapporter au total. Attention : si les secteurs n'étaient pas de même taille, ce calcul ne serait pas valable.

10. On tire au hasard un jeton parmi 20 jetons numérotés de 1 à 20. Quelle est la probabilité d'obtenir un multiple de 3 ?

    • A.1/3
    • B.3/10Bonne réponse
    • C.6/10
    • D.1/20

    Réponse : B — 3/10

    Listons les multiples de 3 entre 1 et 20 : 3, 6, 9, 12, 15 et 18. Cela fait 6 issues favorables (21 serait le suivant, mais il dépasse 20). Donc P = 6/20, fraction qui se simplifie en 3/10 (on divise numérateur et dénominateur par 2). Répondre 1/3 revient à croire qu'un nombre sur trois exactement est multiple de 3, ce qui n'est vrai que si l'effectif total est lui-même un multiple de 3. Répondre 6/10, c'est mal simplifier en ne divisant que le dénominateur.

11. On tire une carte au hasard dans un jeu de 52 cartes. Quelle est la probabilité d'obtenir un as ?

    • A.1/52
    • B.4/13
    • C.1/13Bonne réponse
    • D.1/4

    Réponse : C — 1/13

    Un jeu de 52 cartes contient 4 as, un par couleur. La probabilité est donc 4/52. On simplifie en divisant par 4 : 4/52 = 1/13. Répondre 1/52, c'est oublier qu'il y a quatre as et non un seul. Répondre 1/4, c'est confondre le nombre d'as avec les quatre couleurs du jeu. Astuce de vérification : 1/13 vaut environ 0,077, soit 7,7 %, ce qui est plausible pour un événement plutôt rare.

12. Un sac contient 3 boules rouges et 5 boules bleues. On y ajoute 4 boules rouges. Quelle est la nouvelle probabilité de tirer une boule rouge ?

    • A.7/12Bonne réponse
    • B.3/12
    • C.7/8
    • D.1/2

    Réponse : A — 7/12

    Il faut mettre à jour les DEUX nombres. Boules rouges : 3 + 4 = 7. Total : le sac contenait 8 boules, il en contient maintenant 8 + 4 = 12 (ou 7 rouges + 5 bleues = 12). Donc P(rouge) = 7/12. Répondre 7/8 est l'erreur classique : on augmente le numérateur mais on garde l'ancien total, ce qui est impossible puisque le sac s'est rempli. Contrôle de cohérence : 7/12 est un peu plus grand que 1/2, ce qui est logique car les rouges sont désormais majoritaires.