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Le cosinus d'un angle aigu

Quatrième · Maths · Espace et géométrie

Espace et géométrie

Découvrir le cosinus dans le triangle rectangle

Jusqu'ici, dans un triangle rectangle, tu savais relier trois longueurs grâce au théorème de Pythagore. Le cosinus fait mieux : il relie deux longueurs et un angle. C'est l'outil idéal quand un angle est donné dans l'énoncé — ou quand c'est l'angle que l'on cherche.

Le vocabulaire : hypoténuse, côté adjacent, côté opposé

Tout se joue autour de l'angle aigu que l'on étudie. Dans un triangle ABC rectangle en A, intéressons-nous à l'angle aigu en B :
• l'hypoténuse est [BC], le côté opposé à l'angle droit — c'est toujours le plus long, et il ne dépend pas de l'angle choisi ;
• le côté adjacent à l'angle B est [AB] : c'est le côté qui « touche » l'angle B sans être l'hypoténuse ;
• le côté opposé à l'angle B est [AC] : c'est celui qui est en face.

Dans le triangle ABC rectangle en APour l'angle BPour l'angle C
Hypoténuse[BC][BC]
Côté adjacent[AB][AC]
Côté opposé[AC][AB]
Cosinuscos(B) = AB/BCcos(C) = AC/BC

Espace et géométrie

Calculer une longueur ou un angle avec le cosinus

Une fois la formule posée, tout se joue sur une question : que cherche-t-on ? Une longueur, ou un angle ? La méthode et les touches de la calculatrice ne sont pas les mêmes.

Cas 1 — On cherche une longueur

Cas 2 — On cherche un angle

AngleCosinus (valeur arrondie)Situation typique
0°1Cas limite : le triangle est aplati
30°0,87Angle faible, cosinus proche de 1
45°0,71Triangle rectangle isocèle
60°0,5Valeur exacte utile à connaître
90°0Cas limite : ce n'est plus un angle aigu

Exercices corrigés

  1. Dans un triangle ABC rectangle en A, que vaut cos(B) ?

    • A.AC/BC
    • B.AB/BCBonne réponse
    • C.AB/AC
    • D.BC/AB

    Réponse : B — AB/BC

    Le cosinus, c'est adjacent divisé par hypoténuse (CAH). Le triangle étant rectangle en A, l'hypoténuse est [BC]. Le côté adjacent à l'angle B est [AB] : c'est le côté qui touche l'angle B sans être l'hypoténuse. Donc cos(B) = AB/BC. Attention : AC/BC est le cosinus de l'angle C, pas de B, et BC/AB est la fraction inversée — elle donnerait un nombre supérieur à 1, impossible pour un cosinus.

  2. Triangle ABC rectangle en A. L'angle B mesure 40° et AB = 6 cm. Quelle est la longueur BC, arrondie au dixième ?

    • A.7,8 cmBonne réponse
    • B.4,6 cm
    • C.6 cm
    • D.9,3 cm

    Réponse : A — 7,8 cm

    cos(B) = AB/BC, donc cos(40°) = 6/BC. La longueur cherchée est au dénominateur : on isole BC par produit en croix, BC × cos(40°) = 6, donc BC = 6 / cos(40°). Avec cos(40°) ≈ 0,766 : BC ≈ 6/0,766 ≈ 7,8 cm. La réponse 4,6 cm est le piège classique : c'est 6 × cos(40°), c'est-à-dire une multiplication au lieu d'une division. Elle est en plus impossible, car l'hypoténuse BC doit être plus longue que AB = 6 cm.

  3. Triangle ABC rectangle en A, avec AB = 3 cm et BC = 5 cm. Quelle est la mesure de l'angle B, arrondie au degré ?

    • A.37°
    • B.30°
    • C.53°Bonne réponse
    • D.60°

    Réponse : C — 53°

    cos(B) = AB/BC = 3/5 = 0,6. Avec la touche cos⁻¹ : B = cos⁻¹(0,6) ≈ 53,13°, soit environ 53°. La réponse 37° est le piège : c'est la mesure de l'AUTRE angle aigu, l'angle C (on vérifie d'ailleurs que 53 + 37 = 90). Pour éviter cette confusion, repère bien quel angle est demandé avant de choisir le côté adjacent.

  4. Le triangle DEF est rectangle en E. Que vaut cos(D) ?

    • A.EF/DF
    • B.DE/EF
    • C.DF/DE
    • D.DE/DFBonne réponse

    Réponse : D — DE/DF

    Le triangle est rectangle en E, donc l'hypoténuse est le côté opposé à E, c'est-à-dire [DF]. Pour l'angle D, le côté adjacent est [DE] (il touche D et ce n'est pas l'hypoténuse). Donc cos(D) = DE/DF. Le réflexe qui sauve : l'hypoténuse est toujours au dénominateur. Cela élimine immédiatement DE/EF et DF/DE. Quant à EF/DF, c'est le cosinus de l'angle F.

  5. Triangle ABC rectangle en A, avec AB = 5 cm et l'angle B = 25°. Quelle est la longueur BC, arrondie au dixième ?

    • A.4,5 cm
    • B.2,1 cm
    • C.5,5 cmBonne réponse
    • D.11,8 cm

    Réponse : C — 5,5 cm

    cos(25°) = AB/BC = 5/BC, donc BC = 5 / cos(25°). Avec cos(25°) ≈ 0,906 : BC ≈ 5/0,906 ≈ 5,5 cm. La réponse 4,5 cm correspond à 5 × cos(25°) : c'est une multiplication au lieu d'une division, et elle est impossible car l'hypoténuse doit dépasser 5 cm. Remarque : l'angle étant petit, l'hypoténuse est à peine plus longue que le côté adjacent, ce qui rend 5,5 cm tout à fait cohérent.

  6. Dans un triangle ABC rectangle et isocèle en A, combien mesure l'angle B et que vaut son cosinus (arrondi au centième) ?

    • A.45° et 0,50
    • B.45° et 0,71Bonne réponse
    • C.60° et 0,50
    • D.30° et 0,87

    Réponse : B — 45° et 0,71

    Le triangle étant rectangle en A, les deux angles aigus se partagent 90°. Comme il est isocèle en A, ces deux angles sont égaux : chacun mesure 90 ÷ 2 = 45°. À la calculatrice, cos(45°) ≈ 0,7071, soit 0,71 au centième. La valeur 0,50 correspond à 60°, et 0,87 à 30° : ce sont les autres valeurs repères, à ne pas mélanger.

  7. Une échelle de 4 m est appuyée contre un mur vertical et forme un angle de 70° avec le sol horizontal. À quelle distance du mur se trouve le pied de l'échelle (arrondi au dixième de mètre) ?

    • A.3,8 m
    • B.11,7 m
    • C.2,3 m
    • D.1,4 mBonne réponse

    Réponse : D — 1,4 m

    Le mur, le sol et l'échelle forment un triangle rectangle : l'angle droit est en bas du mur, et l'échelle est l'hypoténuse (4 m). L'angle de 70° est au pied de l'échelle ; le côté adjacent à cet angle est justement la distance cherchée d, le long du sol. Donc cos(70°) = d/4, soit d = 4 × cos(70°) ≈ 4 × 0,342 ≈ 1,4 m. La réponse 11,7 m (= 4 / cos(70°)) vient d'une division au lieu d'une multiplication : impossible, la distance au sol ne peut pas dépasser la longueur de l'échelle.

  8. Triangle ABC rectangle en A, avec AB = 6 cm et AC = 8 cm. Que vaut cos(B) ?

    • A.0,6Bonne réponse
    • B.0,75
    • C.0,8
    • D.1,33

    Réponse : A — 0,6

    Il faut d'abord l'hypoténuse, qui n'est pas donnée : d'après le théorème de Pythagore, BC² = AB² + AC² = 36 + 64 = 100, donc BC = 10 cm. Ensuite cos(B) = AB/BC = 6/10 = 0,6. La réponse 0,75 correspond à 6/8 : c'est le quotient des deux côtés de l'angle droit, ce n'est pas un cosinus. La réponse 0,8 est cos(C) = 8/10, donc l'autre angle. Et 1,33 dépasse 1 : impossible.

  9. Triangle ABC rectangle en A, avec BC = 13 cm et cos(B) = 5/13. Combien mesure AC ?

    • A.5 cm
    • B.8 cm
    • C.12 cmBonne réponse
    • D.13 cm

    Réponse : C — 12 cm

    De cos(B) = AB/BC = 5/13 avec BC = 13, on tire directement AB = 5 cm. Pour trouver AC, on utilise Pythagore dans le triangle rectangle en A : AC² = BC² − AB² = 169 − 25 = 144, donc AC = 12 cm. Répondre 5 cm, c'est donner AB, la longueur intermédiaire, au lieu de la longueur demandée : relis toujours la question avant de conclure ! (Le triangle 5-12-13 est un grand classique, mémorise-le.)

  10. Dans un triangle ABC rectangle en A, l'angle B mesure 35°. Que vaut cos(C), arrondi au centième ?

    • A.0,82
    • B.0,57Bonne réponse
    • C.0,70
    • D.0,35

    Réponse : B — 0,57

    Dans un triangle rectangle, les deux angles aigus sont complémentaires : leur somme vaut 90°. Donc l'angle C mesure 90 − 35 = 55°. À la calculatrice, cos(55°) ≈ 0,5736, soit 0,57 au centième. Le piège est la réponse 0,82, qui vaut cos(35°) : c'est le cosinus de l'angle B, pas de C. Retiens que plus l'angle grandit, plus son cosinus diminue — c'est cohérent : 55° est plus grand que 35°, donc 0,57 est plus petit que 0,82.

  11. Un toboggan rectiligne mesure 5 m de long et son sommet est à 3 m de hauteur au-dessus du sol horizontal. Quel angle le toboggan forme-t-il avec le sol (arrondi au degré) ?

    • A.53°
    • B.37°Bonne réponse
    • C.31°
    • D.59°

    Réponse : B — 37°

    Le toboggan, la hauteur et le sol forment un triangle rectangle, dont le toboggan est l'hypoténuse (5 m). Il faut d'abord la distance horizontale d : par Pythagore, d² = 5² − 3² = 25 − 9 = 16, donc d = 4 m. Cette distance est le côté adjacent à l'angle cherché, donc cos(angle) = 4/5 = 0,8, d'où angle = cos⁻¹(0,8) ≈ 36,87°, soit environ 37°. La réponse 53° est l'angle formé en haut, entre le toboggan et le mur vertical : c'est l'angle complémentaire.

  12. ABCD est un rectangle avec AB = 8 cm et BC = 6 cm. Quel angle la diagonale [AC] forme-t-elle avec le côté [AB] (arrondi au degré) ?

    • A.37°Bonne réponse
    • B.53°
    • C.41°
    • D.48°

    Réponse : A — 37°

    Dans un rectangle, tous les angles sont droits : le triangle ABC est donc rectangle en B, avec AB = 8 cm et BC = 6 cm. Par Pythagore, la diagonale vaut AC² = 64 + 36 = 100, soit AC = 10 cm. L'angle cherché est l'angle BAC ; son côté adjacent est [AB] et l'hypoténuse est [AC]. Donc cos(BAC) = 8/10 = 0,8, d'où BAC = cos⁻¹(0,8) ≈ 36,87°, soit 37°. La réponse 53° correspond à l'angle entre la diagonale et le côté [BC], c'est-à-dire l'angle complémentaire.

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Ce chapitre compte 38 exercices corrigés dans l'application, avec le suivi de ta progression.

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