Triangles égaux et triangles semblables

Exercices corrigés

1. Un premier triangle a deux angles mesurant 40° et 60°. Un second a deux angles mesurant 60° et 80°. Ces triangles sont-ils semblables ?

   • A.Non, car les angles donnés ne sont pas les mêmes
   • B.On ne peut pas savoir sans connaître les longueurs
   • C.Oui : leurs angles sont 40°, 60° et 80° dans les deux casBonne réponse
   • D.Non, il manque forcément une information

   Réponse : C — Oui : leurs angles sont 40°, 60° et 80° dans les deux cas

   Complète les triangles grâce à la somme des angles, qui vaut 180°. Premier triangle : 180 − 40 − 60 = 80°, donc ses angles sont 40°, 60°, 80°. Second triangle : 180 − 60 − 80 = 40°, donc ses angles sont aussi 40°, 60°, 80°. Les angles étant deux à deux égaux, les triangles sont semblables. Les longueurs ne sont pas nécessaires : les angles suffisent toujours à conclure à la similitude.

2. Les triangles ABC et DEF sont semblables, les sommets se correspondant dans l'ordre. On sait que AB/DE = 2. Si BC = 10 cm, combien mesure EF ?

   • A.20 cm
   • B.10 cm
   • C.12 cm
   • D.5 cmBonne réponse

   Réponse : D — 5 cm

   Le rapport AB/DE = 2 signifie que les longueurs de ABC valent le double de celles de DEF : ABC est l'agrandissement, DEF est la réduction. La même proportion vaut pour tous les côtés correspondants : BC/EF = 2, donc 10/EF = 2, d'où EF = 10/2 = 5 cm. Répondre 20 cm, c'est se tromper de sens et multiplier au lieu de diviser : or DEF est le plus petit triangle, ses côtés doivent être plus courts.

3. Le triangle DEF est un agrandissement de rapport k = 3 du triangle ABC. Si l'aire de ABC vaut 5 cm², quelle est l'aire de DEF ?

   • A.15 cm²
   • B.5 cm²
   • C.45 cm²Bonne réponse
   • D.135 cm²

   Réponse : C — 45 cm²

   Dans un agrandissement de rapport k, les longueurs sont multipliées par k mais les aires sont multipliées par k au carré. Ici k = 3, donc k² = 9 et l'aire devient 5 × 9 = 45 cm². Répondre 15 cm², c'est l'erreur classique : multiplier l'aire par k = 3 au lieu de 9. Une façon de s'en souvenir : une aire se calcule en multipliant deux longueurs, chacune étant multipliée par k, d'où le k × k.

4. Les triangles ABC et MNP sont semblables, les sommets se correspondant dans l'ordre A avec M, B avec N, C avec P. On donne AB = 4 cm, MN = 6 cm et AC = 6 cm. Combien mesure MP ?

   • A.4 cm
   • B.6 cm
   • C.8 cm
   • D.9 cmBonne réponse

   Réponse : D — 9 cm

   Cherche d'abord le rapport sur la paire de côtés entièrement connue : [AB] correspond à [MN], donc k = MN/AB = 6/4 = 1,5. Toutes les longueurs de MNP valent donc 1,5 fois celles de ABC. Comme [AC] correspond à [MP] : MP = 1,5 × AC = 1,5 × 6 = 9 cm. Répondre 6 cm, c'est croire que MP est égal à AC, alors que MNP est un agrandissement : toutes ses longueurs doivent grandir, pas seulement une.

5. Un premier triangle est rectangle et possède un angle de 30°. Un second triangle est rectangle et possède un angle de 60°. Sont-ils semblables ?

   • A.Non, car un angle de 30° n'est pas un angle de 60°
   • B.Oui : tous deux ont pour angles 30°, 60° et 90°Bonne réponse
   • C.Seulement s'ils ont la même hypoténuse
   • D.On ne peut pas conclure sans connaître les longueurs

   Réponse : B — Oui : tous deux ont pour angles 30°, 60° et 90°

   Complète chaque triangle avec la somme des angles à 180°. Premier : 180 − 90 − 30 = 60°, donc ses angles sont 90°, 30°, 60°. Second : 180 − 90 − 60 = 30°, donc ses angles sont 90°, 60°, 30°. Les deux triangles ont exactement les mêmes trois angles : ils sont semblables. La longueur de l'hypoténuse ne joue aucun rôle pour la similitude — elle ne servirait qu'à déterminer le rapport k.

6. Deux triangles sont semblables avec un rapport de réduction k = 1/2 (le petit s'obtient à partir du grand). Le périmètre du petit triangle est :

   • A.le quart de celui du grand
   • B.identique à celui du grand
   • C.la moitié de celui du grandBonne réponse
   • D.le double de celui du grand

   Réponse : C — la moitié de celui du grand

   Le périmètre est une somme de longueurs. Si chaque côté est multiplié par 1/2, leur somme l'est aussi : le périmètre est donc divisé par 2. Répondre « le quart » est le piège classique : c'est ce qui arrive à l'AIRE, multipliée par k² = 1/4. Retiens bien la distinction : tout ce qui est une longueur (côté, hauteur, périmètre) suit k ; l'aire suit k².

7. Les triangles ABC et DEF sont semblables (sommets dans l'ordre) avec AB = 3 cm, BC = 5 cm, AC = 7 cm et DE = 9 cm. Quel est le périmètre de DEF ?

   • A.45 cmBonne réponse
   • B.15 cm
   • C.21 cm
   • D.135 cm

   Réponse : A — 45 cm

   Le rapport se lit sur la paire connue : k = DE/AB = 9/3 = 3. Le périmètre étant une longueur, il est lui aussi multiplié par 3. Périmètre de ABC = 3 + 5 + 7 = 15 cm, donc périmètre de DEF = 15 × 3 = 45 cm. Vérification en calculant chaque côté : DE = 9, EF = 5 × 3 = 15, FD = 7 × 3 = 21, et 9 + 15 + 21 = 45 cm. Répondre 135 cm reviendrait à multiplier par k² = 9, ce qui ne concerne que les aires.

8. Deux triangles semblables ont pour aires 12 cm² et 108 cm². Quel est le rapport k entre leurs longueurs ?

   • A.k = 9
   • B.k = 54
   • C.k = 1/9
   • D.k = 3Bonne réponse

   Réponse : D — k = 3

   Commence par le rapport des aires : 108/12 = 9. Or les aires sont multipliées par k², donc k² = 9. On cherche k positif tel que k² = 9 : c'est k = 3. Répondre 9, c'est confondre le rapport des aires avec celui des longueurs — c'est le piège principal du chapitre. Vérification rapide : avec k = 3, l'aire est bien multipliée par 3² = 9, et 12 × 9 = 108. Tout colle.

9. Les triangles ABC et DEF sont semblables, les sommets se correspondant dans l'ordre A avec D, B avec E, C avec F. L'angle A mesure 55° et l'angle E mesure 65°. Combien mesure l'angle F ?

   • A.55°
   • B.65°
   • C.60°Bonne réponse
   • D.70°

   Réponse : C — 60°

   Deux étapes. D'abord, dans le triangle DEF, la somme des angles vaut 180° ; il faut donc connaître l'angle D. Or D correspond à A, donc D mesure 55°. Ensuite : F = 180 − 55 − 65 = 60°. Le piège est de rester sur les valeurs déjà écrites dans l'énoncé (55° ou 65°) sans faire le calcul du troisième angle. Vérification : 55 + 65 + 60 = 180. C'est cohérent.

10. Deux triangles sont dits égaux (ou superposables) lorsque :

    • A.ils ont la même aire
    • B.ils ont le même périmètre
    • C.leurs côtés sont deux à deux de même longueurBonne réponse
    • D.ils ont un angle en commun

    Réponse : C — leurs côtés sont deux à deux de même longueur

    La définition est bien celle des longueurs : deux triangles sont égaux quand leurs trois côtés sont deux à deux de même longueur. On peut alors les superposer parfaitement. L'aire et le périmètre ne suffisent pas : un triangle 3-4-5 et un triangle 2-5-5 ont tous deux un périmètre de 12, sans être égaux. Quant à un seul angle commun, cela ne dit rien du tout sur les longueurs.

11. Deux triangles semblables ont nécessairement :

    • A.leurs angles deux à deux de même mesureBonne réponse
    • B.la même aire
    • C.les mêmes longueurs de côtés
    • D.le même périmètre

    Réponse : A — leurs angles deux à deux de même mesure

    C'est la définition même : des triangles semblables ont les mêmes angles, donc la même forme. Leurs longueurs, elles, sont seulement proportionnelles : elles peuvent être très différentes (pense à une photo et à son agrandissement). Aire, périmètre et longueurs ne sont identiques que dans le cas particulier où le rapport vaut 1, c'est-à-dire quand les triangles sont égaux.

12. Deux triangles égaux sont-ils aussi semblables ?

    • A.Non, jamais : ce sont deux notions incompatibles
    • B.Seulement s'ils sont rectangles
    • C.Seulement s'ils sont isocèles
    • D.Oui : ce sont des triangles semblables de rapport k = 1Bonne réponse

    Réponse : D — Oui : ce sont des triangles semblables de rapport k = 1

    Des triangles égaux ont les mêmes angles : ils vérifient donc la définition des triangles semblables. Leurs longueurs sont proportionnelles avec un coefficient particulier, k = 1 (chaque longueur est multipliée par 1, elle ne change pas). L'égalité est donc un cas particulier de la similitude, et non le contraire. La nature du triangle (rectangle, isocèle) n'a aucun rôle ici.