Translation et rotation

Exercices corrigés

1. Par une translation, l'image d'un segment est :

   • A.un segment de même longueur, parallèle ou confondu avec le premierBonne réponse
   • B.un segment de longueur double, dans la même direction que le premier
   • C.un point unique, comme si le segment se réduisait à son milieu
   • D.un segment perpendiculaire au premier, mais de longueur différente

   Réponse : A — un segment de même longueur, parallèle ou confondu avec le premier

   Une translation est un glissement : la figure se déplace sans changer ni de taille ni d'orientation. L'image d'un segment est donc un segment de même longueur, et comme la direction est conservée, il est parallèle au segment de départ (ou porté par la même droite). Une translation n'agrandit rien : la longueur ne double jamais. Et c'est la rotation de 90°, pas la translation, qui peut rendre deux segments perpendiculaires.

2. Quelles données faut-il pour définir complètement une rotation ?

   • A.Une droite et une longueur
   • B.Un point et une longueur
   • C.Un centre, un angle et un sensBonne réponse
   • D.Deux points seulement

   Réponse : C — Un centre, un angle et un sens

   Une rotation se définit par trois éléments : le centre (le point fixe autour duquel on tourne), l'angle (de combien on tourne) et le sens (celui des aiguilles d'une montre, ou le sens contraire). Si tu oublies le sens, deux images différentes sont possibles ! Une droite et une longueur, ce serait plutôt une symétrie axiale ; deux points seulement, c'est ce qui définit une translation.

3. Dans un repère, la translation qui transforme A(1 ; 2) en A'(4 ; 3) transforme le point B(0 ; 0) en :

   • A.B'(4 ; 3)
   • B.B'(3 ; 1)Bonne réponse
   • C.B'(1 ; 3)
   • D.B'(−3 ; −1)

   Réponse : B — B'(3 ; 1)

   Cherche d'abord le déplacement : de A à A', l'abscisse passe de 1 à 4, donc +3 ; l'ordonnée passe de 2 à 3, donc +1. Ce déplacement est le même pour tous les points. Pour B(0 ; 0) : abscisse 0 + 3 = 3 et ordonnée 0 + 1 = 1, donc B'(3 ; 1). Répondre (4 ; 3), c'est croire que tous les points arrivent en A' ; répondre (−3 ; −1), c'est appliquer le déplacement à l'envers.

4. Dans un repère, quelle est l'image du point M(5 ; −2) par la translation qui transforme O(0 ; 0) en T(−2 ; 3) ?

   • A.M'(7 ; −5)
   • B.M'(3 ; 1)Bonne réponse
   • C.M'(−10 ; −6)
   • D.M'(3 ; 5)

   Réponse : B — M'(3 ; 1)

   Le déplacement se lit de O vers T : l'abscisse passe de 0 à −2, donc −2 ; l'ordonnée passe de 0 à 3, donc +3. On applique le même déplacement à M(5 ; −2) : abscisse 5 + (−2) = 3, ordonnée −2 + 3 = 1. Donc M'(3 ; 1). Répondre (7 ; −5), c'est soustraire au lieu d'ajouter ; répondre (−10 ; −6), c'est multiplier les coordonnées, ce qui n'a rien à voir avec une translation.

5. Une frise décorative est obtenue en répétant toujours le même motif le long d'une bande. La transformation utilisée est :

   • A.une rotation de 90° répétée
   • B.une symétrie axiale répétée
   • C.un agrandissement répété
   • D.une même translation répétéeBonne réponse

   Réponse : D — une même translation répétée

   Dans une frise, le motif est recopié à intervalles réguliers, toujours dans la même direction et à la même distance : c'est exactement la définition d'une translation, appliquée plusieurs fois de suite. Une rotation ferait pivoter le motif, une symétrie axiale le retournerait, et un agrandissement le rendrait de plus en plus grand — la frise ne serait plus régulière. (Certaines frises combinent en plus des symétries, mais la translation reste la transformation de base.)

6. On applique plusieurs fois de suite la rotation de centre A et d'angle 120°, toujours dans le même sens. Au bout de combien de rotations la figure revient-elle exactement à sa position de départ ?

   • A.3 rotationsBonne réponse
   • B.4 rotations
   • C.2 rotations
   • D.6 rotations

   Réponse : A — 3 rotations

   Pour revenir au point de départ, il faut avoir tourné d'un tour complet, soit 360°. Comme chaque rotation fait avancer de 120° : 360 ÷ 120 = 3. Il faut donc 3 rotations (120°, puis 240°, puis 360°). Avec 2 rotations, on n'est qu'à 240°, et avec 6 on aurait fait deux tours complets : la figure serait de nouveau en place, mais 3 était le premier moment où cela arrive.

7. ABCDEF est un hexagone régulier de centre O, ses sommets étant nommés dans le sens inverse des aiguilles d'une montre. La rotation de centre O et d'angle 60° dans ce même sens transforme A en B. Quelle est alors l'image de C ?

   • A.DBonne réponse
   • B.B
   • C.E
   • D.F

   Réponse : A — D

   Un tour complet fait 360° et l'hexagone possède 6 sommets régulièrement répartis : 360 ÷ 6 = 60°. Cette rotation décale donc chaque sommet exactement d'un cran dans le sens de nommage. Puisque A devient B, on a aussi B qui devient C, C qui devient D, D qui devient E, et ainsi de suite. L'image de C est donc D. Attention à ne pas reculer d'un cran (ce qui donnerait B) : la rotation avance dans le sens indiqué.

8. Une translation transforme A en A' avec AA' = 5 cm. Elle transforme le segment [BC], qui mesure 7 cm, en un segment [B'C']. Combien mesure B'C' ?

   • A.12 cm
   • B.5 cm
   • C.35 cm
   • D.7 cmBonne réponse

   Réponse : D — 7 cm

   Piège classique : la distance AA' = 5 cm dit de combien la figure se déplace, elle ne modifie en rien les longueurs de la figure ! Une translation conserve les longueurs, donc B'C' = BC = 7 cm. Répondre 12 cm revient à additionner 7 + 5, et 35 cm à multiplier 7 × 5 : dans les deux cas, on confond « longueur du déplacement » et « longueur du segment ».

9. ABCD est un parallélogramme de centre O (O est le point d'intersection des diagonales). Quelle transformation envoie le triangle ABO sur le triangle CDO ?

   • A.La translation qui transforme A en C
   • B.La rotation de centre O et d'angle 180°Bonne réponse
   • C.La rotation de centre A et d'angle 90°
   • D.La translation qui transforme A en B

   Réponse : B — La rotation de centre O et d'angle 180°

   Dans un parallélogramme, les diagonales se coupent en leur milieu : O est donc le milieu de [AC] et le milieu de [BD]. La symétrie de centre O — c'est-à-dire la rotation de centre O et d'angle 180° — envoie A sur C, B sur D, et O sur lui-même : le triangle ABO est bien envoyé sur le triangle CDO. La translation qui transforme A en C, elle, enverrait bien A sur C, mais elle déplacerait aussi O (qui ne resterait pas fixe), donc le triangle image ne serait pas CDO.

10. Une translation conserve :

    • A.les longueurs seulement
    • B.les longueurs, les angles et les airesBonne réponse
    • C.les angles seulement
    • D.ni les longueurs ni les angles

    Réponse : B — les longueurs, les angles et les aires

    La translation déplace la figure en bloc : l'image est superposable à la figure de départ. Elle conserve donc tout à la fois les longueurs, les angles, les aires, mais aussi l'alignement des points, le parallélisme et la perpendicularité. Seule la position change.

11. On applique une rotation de centre O et d'angle 90°. Quelle est l'image du point O ?

    • A.Un point situé à 90 cm de O
    • B.Le symétrique de O par rapport à l'axe de rotation
    • C.Impossible à déterminer sans le sens de rotation
    • D.Le point O lui-mêmeBonne réponse

    Réponse : D — Le point O lui-même

    Le centre de rotation est le seul point qui ne bouge pas : on tourne autour de lui. Formellement, l'image M' d'un point M vérifie OM' = OM ; pour M = O, on a OO = 0, donc OM' = 0 et l'image est confondue avec O. L'angle de 90° est une mesure d'angle, pas une longueur en centimètres : attention à ne pas mélanger les deux !

12. Une rotation de 180° autour d'un point O est la même transformation que :

    • A.une symétrie centrale de centre OBonne réponse
    • B.une symétrie axiale d'axe passant par O
    • C.une translation
    • D.aucune transformation connue

    Réponse : A — une symétrie centrale de centre O

    Tourner d'un demi-tour autour de O revient exactement à faire une symétrie centrale de centre O : chaque point M part de l'autre côté de O, à la même distance. C'est d'ailleurs le seul cas où le sens de rotation n'a aucune importance (180° dans un sens ou dans l'autre donnent la même image). La symétrie axiale, elle, retourne la figure comme un miroir : ce n'est pas la même chose.