Statistiques : moyenne et médiane
Quatrième · Maths · Organisation et gestion de données, fonctions
Organisation et gestion de données
Lire une série statistique et calculer une moyenne
Les statistiques servent à résumer beaucoup de données par quelques nombres. Quand on a relevé les 30 notes d'une classe, on ne va pas les citer une par une : on donne une moyenne, une médiane, une étendue. Encore faut-il savoir ce que chacun de ces nombres raconte vraiment.
La moyenne
La moyenne avec des coefficients
C'est exactement le même calcul, mais les effectifs s'appellent des coefficients. Une note de 12 avec un coefficient 2 et une note de 15 avec un coefficient 3 donnent :
(2 × 12 + 3 × 15)/(2 + 3) = (24 + 45)/5 = 69/5 = 13,8.
Remarque : le résultat est plus proche de 15 que de 12, parce que la note de 15 pèse plus lourd. La moyenne simple aurait donné 13,5.
Organisation et gestion de données
Médiane, étendue et interprétation
La moyenne ne suffit pas toujours à décrire une série. Si dans une entreprise le patron gagne 20 000 € et les neuf employés 1 500 €, le salaire moyen dépasse 3 300 € : personne ne gagne cette somme ! Il faut d'autres indicateurs, en particulier la médiane.
Moyenne ou médiane : lequel choisir ?
| Indicateur | Ce qu'il mesure | Sensible aux valeurs extrêmes ? | Quand le préférer |
|---|---|---|---|
| Moyenne | Une valeur d'équilibre, qui tient compte de toutes les données | Oui, beaucoup | Quand les données sont regroupées, sans valeur aberrante |
| Médiane | La valeur qui coupe l'effectif en deux moitiés | Non | Quand quelques valeurs sont très éloignées des autres (salaires, prix de logements) |
| Étendue | L'écart entre les extrêmes | Oui, par définition | Pour évaluer d'un coup d'œil la dispersion |
Exercices corrigés
Comment calcule-t-on la moyenne d'une série statistique ?
- A.On prend la valeur située au milieu de la série rangée
- B.On soustrait la plus petite valeur de la plus grande
- C.On prend la valeur qui apparaît le plus souvent
- D.On additionne toutes les valeurs, puis on divise par leur nombreBonne réponse
Réponse : D — On additionne toutes les valeurs, puis on divise par leur nombre
La moyenne est bien la somme des valeurs divisée par l'effectif total. Les autres propositions décrivent d'autres notions : la valeur du milieu de la série rangée est la médiane, la différence entre le maximum et le minimum est l'étendue, et la valeur la plus fréquente est le mode. Ces quatre indicateurs répondent à des questions différentes, il ne faut pas les confondre.
Quelle est la moyenne des trois notes 10 ; 12 ; 14 ?
- A.12Bonne réponse
- B.36
- C.11
- D.13
Réponse : A — 12
La somme vaut 10 + 12 + 14 = 36, et il y a 3 notes, donc la moyenne est 36/3 = 12. Ici les trois notes sont régulièrement espacées, la moyenne coïncide donc avec celle du milieu. Répondre 36, c'est oublier la division. Répondre 13, c'est faire la moyenne des deux extrêmes en oubliant la note centrale... qui donne pourtant le même résultat 12 dans ce cas précis.
Un élève a obtenu 8 à un devoir de coefficient 1 et 12 à un devoir de coefficient 3. Quelle est sa moyenne ?
- A.10
- B.12
- C.20
- D.11Bonne réponse
Réponse : D — 11
On multiplie chaque note par son coefficient : 8 × 1 = 8 et 12 × 3 = 36. La somme vaut 8 + 36 = 44. On divise par la somme des coefficients, soit 1 + 3 = 4 : 44/4 = 11. Répondre 10 est le piège classique : c'est la moyenne simple de 8 et 12, qui ignore les coefficients. Le résultat 11 est logiquement plus proche de 12 que de 8, puisque la note de 12 pèse trois fois plus lourd.
Dans un collège de 60 élèves de 4e, 15 élèves font partie de la chorale. Quelle est la fréquence, en pourcentage, des choristes ?
- A.25 %Bonne réponse
- B.15 %
- C.4 %
- D.40 %
Réponse : A — 25 %
La fréquence est l'effectif divisé par l'effectif total : 15/60 = 0,25, soit 25 %. On pouvait aussi remarquer que 15 est le quart de 60, et qu'un quart correspond à 25 %. Répondre 15 %, c'est confondre l'effectif avec une fréquence. Répondre 4 %, c'est utiliser le quotient inverse 60/15 = 4.
Quelle est la médiane de la série : 7 ; 2 ; 9 ; 4 ; 5 ?
- A.9
- B.5Bonne réponse
- C.7
- D.4
Réponse : B — 5
Attention, la série n'est PAS rangée : c'est tout le piège. On la range d'abord : 2 ; 4 ; 5 ; 7 ; 9. L'effectif est impair (5 valeurs), la médiane est donc la 3e valeur de la série rangée, c'est-à-dire 5. Répondre 9, c'est prendre la valeur du milieu de la série telle qu'elle est écrite, sans la ranger : l'erreur la plus fréquente de tout le chapitre.
Un élève a obtenu 10 ; 14 ; 9 et 13 à ses quatre premiers devoirs. Quelle note doit-il obtenir au cinquième pour avoir 12 de moyenne sur les cinq devoirs ?
- A.12
- B.14Bonne réponse
- C.16
- D.11
Réponse : B — 14
Pour avoir 12 de moyenne sur 5 devoirs, il faut un total de points égal à 5 × 12 = 60. Or ses quatre premières notes totalisent 10 + 14 + 9 + 13 = 46 points. Il lui manque donc 60 − 46 = 14 points : sa cinquième note doit être 14. Vérification : (10 + 14 + 9 + 13 + 14)/5 = 60/5 = 12. Répondre 12, c'est croire qu'il suffit d'obtenir la moyenne visée, alors que ses notes actuelles sont en dessous et doivent être compensées.
Une série de 6 valeurs rangées dans l'ordre croissant s'écrit : 4 ; 6 ; x ; 10 ; 12 ; 15. Sa médiane vaut 9. Que vaut x ?
- A.7
- B.9
- C.6
- D.8Bonne réponse
Réponse : D — 8
L'effectif 6 est pair : la médiane est la demi-somme des 3e et 4e valeurs, c'est-à-dire (x + 10)/2. On résout l'équation (x + 10)/2 = 9, soit x + 10 = 18, donc x = 8. Vérification : la série 4 ; 6 ; 8 ; 10 ; 12 ; 15 est bien rangée dans l'ordre croissant, et (8 + 10)/2 = 9. Répondre 9, c'est croire que la médiane appartient forcément à la série ; répondre 7 ou 6 donnerait des médianes de 8,5 et 8, différentes de 9.
Quelle est la moyenne de la série : 4 ; 8 ; 6 ; 2 ?
- A.5Bonne réponse
- B.6
- C.20
- D.4
Réponse : A — 5
On additionne toutes les valeurs : 4 + 8 + 6 + 2 = 20. On divise ensuite par le nombre de valeurs, ici 4 : 20/4 = 5. Contrôle : 5 est bien compris entre la plus petite valeur (2) et la plus grande (8). Répondre 20, c'est s'arrêter à la somme sans diviser.
Quelle est la médiane de la série rangée : 3 ; 5 ; 7 ; 9 ; 11 ?
- A.5
- B.7Bonne réponse
- C.9
- D.35
Réponse : B — 7
La série est déjà rangée et contient 5 valeurs, un effectif impair. La médiane est donc la valeur du milieu, la 3e : c'est 7. Contrôle : il y a deux valeurs avant (3 et 5) et deux valeurs après (9 et 11), l'effectif est bien coupé en deux parts égales. Répondre 35 confond la médiane avec la somme des valeurs.
Quelle est l'étendue de la série : 12 ; 5 ; 18 ; 7 ?
- A.18
- B.5
- C.13Bonne réponse
- D.23
Réponse : C — 13
L'étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur. Le maximum est 18, le minimum est 5, donc l'étendue vaut 18 − 5 = 13. Répondre 18, c'est donner le maximum et non l'écart. Répondre 23, c'est additionner le maximum et le minimum au lieu de les soustraire.
Dans une entreprise, le salaire médian est de 1 900 €. Qu'est-ce que cela signifie ?
- A.Tous les salariés gagnent 1 900 €
- B.Au moins la moitié des salariés gagnent 1 900 € ou moins, et au moins la moitié gagnent 1 900 € ou plusBonne réponse
- C.Le salaire moyen de l'entreprise est de 1 900 €
- D.L'écart entre le plus petit et le plus gros salaire est de 1 900 €
Réponse : B — Au moins la moitié des salariés gagnent 1 900 € ou moins, et au moins la moitié gagnent 1 900 € ou plus
La médiane partage l'effectif en deux moitiés : si on range tous les salaires dans l'ordre croissant, la valeur du milieu est 1 900 €. Une moitié des salariés est en dessous ou à ce niveau, l'autre moitié au-dessus ou à ce niveau. La moyenne serait un calcul différent (et souvent plus élevée, car tirée vers le haut par les hauts salaires), et l'écart entre les extrêmes serait l'étendue.
Quelle est la médiane de la série : 2 ; 4 ; 7 ; 9 ?
- A.4
- B.7
- C.5,5Bonne réponse
- D.6,5
Réponse : C — 5,5
La série est rangée et contient 4 valeurs : l'effectif est PAIR, il n'y a donc pas de valeur unique au milieu. On prend la demi-somme des deux valeurs centrales, la 2e et la 3e : (4 + 7)/2 = 11/2 = 5,5. Répondre 4 ou 7, c'est choisir arbitrairement l'une des deux valeurs centrales. Répondre 6,5 revient à faire (4 + 9)/2, c'est-à-dire à mélanger une valeur centrale et une valeur extrême. Et oui, la médiane 5,5 n'appartient pas à la série : c'est tout à fait normal.
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