Proportionnalité et pourcentages
Quatrième · Maths · Organisation et gestion de données, fonctions
Organisation et gestion de données
Reconnaître et utiliser la proportionnalité
La proportionnalité, c'est la situation où « deux fois plus de l'un donne deux fois plus de l'autre ». Elle est partout : prix au kilo, recettes de cuisine, plans à l'échelle, vitesses, pourcentages. C'est le chapitre le plus rentable du collège, parce qu'il sert dans presque tous les exercices concrets.
Reconnaître une situation de proportionnalité
- Dans un tableau : tous les quotients de la deuxième ligne par la première doivent donner le MÊME nombre.
- Sur un graphique : les points sont alignés ET la droite passe par l'origine (0 ; 0).
- Par le bon sens : si la quantité est nulle, le résultat doit être nul. Zéro croissant coûte zéro euro, donc c'est proportionnel.
- Contre-exemple classique : l'âge et la taille d'une personne ne sont pas proportionnels. Un abonnement avec frais fixes (10 € + 2 € par séance) ne l'est pas non plus.
- Autre contre-exemple : l'aire d'un carré n'est pas proportionnelle à son côté (si le côté double, l'aire est multipliée par 4).
| Situation | Proportionnelle ? | Pourquoi |
|---|---|---|
| Prix payé et nombre d'articles identiques | Oui | Coefficient = prix d'un article |
| Distance parcourue et durée, à vitesse constante | Oui | Coefficient = vitesse |
| Périmètre d'un carré et longueur du côté | Oui | Périmètre = 4 × côté |
| Aire d'un carré et longueur du côté | Non | Aire = côté × côté, on ne multiplie pas par un nombre fixe |
| Facture avec un abonnement fixe puis un prix par unité | Non | Zéro unité coûte quand même le prix de l'abonnement |
Les échelles. Une échelle est un coefficient de proportionnalité entre les longueurs du plan et les longueurs réelles, exprimées dans la même unité.
Échelle = longueur sur le plan / longueur réelle.
Une échelle de 1/200 signifie que 1 cm sur le plan représente 200 cm en vrai, soit 2 m. Donc 3 cm sur le plan représentent 3 × 200 = 600 cm, c'est-à-dire 6 m.
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Pourcentages, augmentations et réductions
Un pourcentage n'est rien d'autre qu'un cas particulier de proportionnalité : c'est une proportion ramenée à 100. Dire « 20 % » revient à dire « 20 pour 100 », c'est-à-dire la fraction 20/100 = 0,2 = 1/5.
Le coefficient multiplicateur, l'outil clé de la 4e. Plutôt que de calculer la hausse puis de l'ajouter, on multiplie en une seule fois par un coefficient. C'est plus rapide, et surtout c'est indispensable pour les évolutions successives.
| Évolution | Coefficient multiplicateur | Exemple sur 200 € |
|---|---|---|
| Augmenter de 5 % | 1 + 5/100 = 1,05 | 200 × 1,05 = 210 € |
| Augmenter de 20 % | 1,2 | 200 × 1,2 = 240 € |
| Diminuer de 10 % | 1 − 10/100 = 0,9 | 200 × 0,9 = 180 € |
| Diminuer de 30 % | 0,7 | 200 × 0,7 = 140 € |
| Prendre 75 % d'une quantité | 0,75 | 200 × 0,75 = 150 € |
Les évolutions successives
Quand deux évolutions s'enchaînent, on multiplie les coefficients : on ne les additionne jamais.
Une hausse de 20 % suivie d'une hausse de 25 % donne 1,2 × 1,25 = 1,5, soit une hausse globale de 50 % (et non de 45 %).
Une hausse de 10 % suivie d'une baisse de 10 % donne 1,1 × 0,9 = 0,99 : le prix a baissé de 1 %, il ne revient pas à son point de départ. C'est logique : la baisse de 10 % s'applique à un prix déjà augmenté, donc elle porte sur une somme plus grande.
Exercices corrigés
Un article coûte 50 €. Il est soldé avec une remise de 10 %. Quel est son nouveau prix ?
- A.40 €
- B.45 €Bonne réponse
- C.49 €
- D.55 €
Réponse : B — 45 €
La remise vaut 10 % de 50 €, soit 50 × 0,1 = 5 €. Le nouveau prix est donc 50 − 5 = 45 €. Plus rapide avec le coefficient multiplicateur : 50 × 0,9 = 45 €. Répondre 40 €, c'est enlever 10 € au lieu de 10 %. Répondre 55 €, c'est augmenter au lieu de diminuer : attention au sens de l'évolution !
Combien vaut 15 % de 240 ?
- A.16
- B.36Bonne réponse
- C.24
- D.3,6
Réponse : B — 36
On multiplie par 15/100 = 0,15 : 240 × 0,15 = 36. On peut aussi décomposer de tête : 10 % de 240 = 24, et 5 % en est la moitié, soit 12. Total : 24 + 12 = 36. Répondre 24, c'est s'arrêter aux 10 %. Répondre 16, c'est faire 240/15, ce qui inverse l'opération.
Un vêtement coûtant 80 € subit une baisse de 20 %. Quel est son nouveau prix ?
- A.60 €
- B.76 €
- C.64 €Bonne réponse
- D.96 €
Réponse : C — 64 €
Une baisse de 20 % correspond au coefficient 1 − 0,20 = 0,8. On calcule 80 × 0,8 = 64 €. Vérification par l'autre chemin : 20 % de 80 = 16 €, et 80 − 16 = 64 €. Répondre 60 €, c'est retirer 20 € au lieu de 20 %. Répondre 96 €, c'est augmenter au lieu de baisser.
4 stylos identiques coûtent 6 €. Combien coûtent 10 de ces stylos ?
- A.12 €
- B.24 €
- C.18 €
- D.15 €Bonne réponse
Réponse : D — 15 €
Le prix d'un stylo est 6/4 = 1,50 €. Pour 10 stylos : 10 × 1,50 = 15 €. Autre chemin, le produit en croix : 4/6 = 10/p donne 4p = 60, donc p = 15 €. Répondre 12 €, c'est doubler le prix de 4 stylos pour obtenir celui de 8, en oubliant les 2 derniers. Répondre 18 €, c'est ajouter 6 € par tranche de 4 sans ajuster.
Dans un collège, 12 élèves sur 48 sont demi-pensionnaires. Quel pourcentage cela représente-t-il ?
- A.12 %
- B.4 %
- C.25 %Bonne réponse
- D.36 %
Réponse : C — 25 %
On calcule la proportion puis on la ramène à 100 : (12/48) × 100 = 0,25 × 100 = 25 %. On pouvait aussi remarquer que 12 est le quart de 48, et qu'un quart vaut 25 %. Répondre 4 %, c'est confondre le quotient 48/12 = 4 avec un pourcentage. Répondre 36 %, c'est utiliser les 36 élèves restants, qui sont les externes.
Un loyer de 200 € augmente de 5 %. Combien vaut-il après l'augmentation ?
- A.205 €
- B.210 €Bonne réponse
- C.300 €
- D.201 €
Réponse : B — 210 €
L'augmentation vaut 5 % de 200 €, soit 200 × 0,05 = 10 €. Le nouveau loyer est donc 200 + 10 = 210 €. Avec le coefficient : 200 × 1,05 = 210 €. Répondre 205 €, c'est ajouter 5 € au lieu de 5 %. Répondre 300 €, c'est ajouter 50 %, ce qui correspondrait à une erreur de virgule sur le coefficient.
Une recette pour 3 personnes demande 450 g de farine. Quelle quantité faut-il pour 5 personnes ?
- A.750 gBonne réponse
- B.650 g
- C.270 g
- D.900 g
Réponse : A — 750 g
On passe par l'unité : 450/3 = 150 g de farine par personne. Pour 5 personnes : 5 × 150 = 750 g. Vérification par le produit en croix : 3/450 = 5/m donne 3m = 2250, donc m = 750 g. Répondre 650 g, c'est ajouter 200 g au hasard. Répondre 270 g, c'est diviser au lieu de multiplier, alors que le résultat doit augmenter puisqu'il y a plus de convives.
Le nombre d'adhérents d'un club passe de 40 à 50. Quel est le pourcentage d'augmentation ?
- A.+10 %
- B.+20 %
- C.+25 %Bonne réponse
- D.+125 %
Réponse : C — +25 %
Un taux d'évolution se calcule toujours par rapport à la valeur de DÉPART : (50 − 40)/40 = 10/40 = 0,25, soit +25 %. Vérification : 40 × 1,25 = 50. Répondre +10 %, c'est confondre l'augmentation en nombre d'adhérents (10) avec le pourcentage. Répondre +20 %, c'est diviser par la valeur d'arrivée (10/50) au lieu de la valeur de départ. Répondre +125 % confond le coefficient 1,25 avec le taux.
Une voiture consomme 6 litres de carburant pour 100 km. Quelle quantité consomme-t-elle sur 250 km, à consommation constante ?
- A.12 L
- B.24 L
- C.15 LBonne réponse
- D.16,7 L
Réponse : C — 15 L
La consommation est proportionnelle à la distance. Le coefficient est 6/100 = 0,06 litre par kilomètre, donc 250 × 0,06 = 15 L. Autre raisonnement, par linéarité : 100 km consomment 6 L, donc 200 km en consomment 12 L, et 50 km en consomment 3 L ; total 12 + 3 = 15 L. Répondre 12 L oublie les 50 derniers kilomètres, et 24 L reviendrait à traiter 250 km comme 400 km.
Le prix d'un article augmente de 10 %, puis baisse de 10 %. Que peut-on dire du prix final ?
- A.Il revient exactement à sa valeur de départ
- B.Il a baissé de 1 % par rapport au prix de départBonne réponse
- C.Il a augmenté de 1 % par rapport au prix de départ
- D.Il a baissé de 20 % par rapport au prix de départ
Réponse : B — Il a baissé de 1 % par rapport au prix de départ
Les coefficients se multiplient : 1,1 × 0,9 = 0,99. Or 0,99 correspond à une baisse de 1 %. Testons sur 100 € : après la hausse, 110 € ; la baisse de 10 % porte alors sur 110 €, soit 11 €, et le prix final est 99 €. On a bien perdu 1 €, donc 1 %. La clé : la hausse et la baisse ne s'appliquent pas au même montant, donc elles ne se compensent jamais exactement.
Un prix augmente de 20 %, puis le nouveau prix augmente encore de 25 %. Quelle est l'augmentation globale ?
- A.+45 %
- B.+22,5 %
- C.+500 %
- D.+50 %Bonne réponse
Réponse : D — +50 %
On multiplie les coefficients : 1,2 × 1,25 = 1,5. Un coefficient global de 1,5 correspond à une hausse de 50 %. Vérifions sur 100 € : après +20 %, on est à 120 € ; après +25 % de 120 €, on ajoute 30 €, donc 150 €. On est bien passé de 100 à 150, soit +50 %. Répondre +45 %, c'est additionner les taux, ce qui est l'erreur la plus fréquente : la seconde hausse porte sur un prix déjà augmenté, elle rapporte donc davantage. Répondre +22,5 %, c'est faire une moyenne des deux taux.
Combien vaut 20 % de 60 ?
- A.12Bonne réponse
- B.30
- C.3
- D.1200
Réponse : A — 12
Prendre 20 % d'une quantité, c'est la multiplier par 20/100 = 0,2. On calcule 60 × 0,2 = 12. Autre façon de voir : 20 % correspond à un cinquième, et 60/5 = 12. Répondre 3 revient à faire 60/20, et répondre 1200 à multiplier par 20 en oubliant de diviser par 100.
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