Théorème de Pythagore
Quatrième · Maths · Espace et géométrie
Espace et géométrie
Le théorème de Pythagore : calculer une longueur
Le théorème de Pythagore permet de calculer la longueur d'un côté d'un triangle rectangle quand on connaît les deux autres. C'est LE théorème star de la 4e : tu le réutiliseras en 3e, au brevet et même au lycée. Il ne fonctionne que dans les triangles rectangles. On l'utilise chaque fois qu'un triangle rectangle apparaît dans un énoncé, en géométrie comme dans des situations concrètes (une échelle contre un mur, la diagonale d'un rectangle, une distance à vol d'oiseau). En revanche, il ne s'applique à aucun autre triangle : sans angle droit, l'égalité BC² = AB² + AC² est tout simplement fausse, et il faudra d'autres méthodes pour calculer une longueur.
Pourquoi cette égalité est-elle vraie ? Une manière simple de le voir consiste à imaginer un carré construit sur chacun des trois côtés du triangle. On peut alors découper en quelques morceaux les deux carrés construits sur les côtés de l'angle droit, et recouvrir avec ces morceaux, exactement, sans trou ni chevauchement, le carré construit sur l'hypoténuse. L'aire du grand carré est donc égale à la somme des aires des deux petits. C'est cette égalité d'aires que traduit la formule BC² = AB² + AC², puisque l'aire d'un carré de côté c vaut c². Au collège, le théorème est admis : on l'utilise sans avoir à le démontrer, mais ce découpage montre d'où vient la formule.
Calculer l'hypoténuse
Calculer un côté de l'angle droit
Les deux exemples précédents utilisent la même égalité, lue dans deux sens différents. Pour trouver l'hypoténuse, on additionne les carrés des deux côtés de l'angle droit, puis on prend la racine carrée. Pour trouver un côté de l'angle droit, on soustrait le carré de l'autre côté de l'angle droit au carré de l'hypoténuse, puis on prend la racine carrée. Bien identifier l'hypoténuse — le côté en face de l'angle droit, toujours le plus long des trois — est donc la première chose à faire, avant même d'écrire l'égalité : c'est elle qui indique si l'on doit additionner ou soustraire.
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La réciproque : prouver qu'un triangle est rectangle
Le théorème de Pythagore sert à calculer une longueur quand on SAIT que le triangle est rectangle. La réciproque, c'est le sens inverse : elle sert à prouver qu'un triangle est rectangle quand on connaît ses trois côtés.
Le deuxième cas utilise en fait la contraposée du théorème de Pythagore : si BC² ≠ AB² + AC², alors le triangle n'est pas rectangle en A. C'est elle qui permet de prouver qu'un triangle n'est pas rectangle.
Quand le résultat n'est pas un carré parfait
| Triplet de côtés | Vérification | Conclusion |
|---|---|---|
| 3 – 4 – 5 | 9 + 16 = 25 = 5² | rectangle |
| 6 – 8 – 10 | 36 + 64 = 100 = 10² | rectangle |
| 5 – 12 – 13 | 25 + 144 = 169 = 13² | rectangle |
| 8 – 15 – 17 | 64 + 225 = 289 = 17² | rectangle |
| 4 – 7 – 8 | 16 + 49 = 65 ≠ 64 | PAS rectangle |
Exercices corrigés
Dans un triangle rectangle, comment appelle-t-on le côté situé en face de l'angle droit ?
- A.La médiane
- B.L'hypoténuseBonne réponse
- C.Le côté adjacent
- D.La hauteur
Réponse : B — L'hypoténuse
Le côté opposé à l'angle droit s'appelle l'hypoténuse. C'est toujours le plus long des trois côtés du triangle rectangle, et c'est lui qui est seul d'un côté de l'égalité de Pythagore.
Le triangle ABC est rectangle en A. Quelle égalité de Pythagore est correcte ?
- A.AB² = BC² + AC²
- B.BC = AB + AC
- C.BC² = AB² + AC²Bonne réponse
- D.AC² = AB² + BC²
Réponse : C — BC² = AB² + AC²
L'angle droit est en A, donc l'hypoténuse est le côté opposé : [BC]. C'est son carré qui est égal à la somme des carrés des deux autres côtés : BC² = AB² + AC². Attention, l'égalité porte sur les carrés, jamais sur les longueurs elles-mêmes (BC ≠ AB + AC).
ABC est un triangle rectangle en A, avec AB = 3 cm et AC = 4 cm. Combien mesure BC ?
- A.5 cmBonne réponse
- B.7 cm
- C.25 cm
- D.12 cm
Réponse : A — 5 cm
BC² = AB² + AC² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25, donc BC = √25 = 5 cm. Si tu as répondu 7, tu as additionné les longueurs (3 + 4) au lieu des carrés ; si tu as répondu 25, tu as oublié la racine carrée à la fin.
Dans le triangle DEF, DE = 7 cm, EF = 9 cm et DF = 11 cm. Ce triangle est-il rectangle ?
- A.Oui, rectangle en E
- B.Oui, rectangle en D
- C.Non, car 121 ≠ 130Bonne réponse
- D.Oui, car 121 ≈ 130
Réponse : C — Non, car 121 ≠ 130
Le plus grand côté est DF : DF² = 11² = 121. De l'autre côté : DE² + EF² = 49 + 81 = 130. Comme 121 ≠ 130, le triangle n'est pas rectangle (c'est la contraposée du théorème de Pythagore). En maths, « à peu près égal » ne suffit jamais pour conclure à un angle droit !
ABC est rectangle en A, avec AB = 5 cm et AC = 6 cm. Quelle est la valeur EXACTE de BC ?
- A.11 cm
- B.61 cm
- C.√11 cm
- D.√61 cmBonne réponse
Réponse : D — √61 cm
BC² = AB² + AC² = 25 + 36 = 61. Comme 61 n'est pas un carré parfait, la valeur exacte est BC = √61 cm (soit environ 7,8 cm). Répondre 61 cm, c'est oublier la racine ; répondre 11 cm, c'est additionner les longueurs au lieu des carrés.
Un rectangle a pour longueur 12 cm et pour largeur 9 cm. Combien mesure sa diagonale ?
- A.21 cm
- B.15 cmBonne réponse
- C.225 cm
- D.10,5 cm
Réponse : B — 15 cm
La diagonale coupe le rectangle en deux triangles rectangles : elle en est l'hypoténuse. d² = 12² + 9² = 144 + 81 = 225, donc d = √225 = 15 cm. Répondre 21, c'est additionner 12 + 9 sans passer par les carrés ; 225, c'est oublier la racine carrée.
Dans le triangle IJK, IJ = 4,5 cm, JK = 6 cm et IK = 7,5 cm. Que peut-on dire de ce triangle ?
- A.Il est rectangle en I
- B.Il est rectangle en K
- C.Il n'est pas rectangle
- D.Il est rectangle en JBonne réponse
Réponse : D — Il est rectangle en J
Étape 1 : le plus grand côté est IK, donc IK² = 7,5² = 56,25. Étape 2 : IJ² + JK² = 20,25 + 36 = 56,25. Étape 3 : il y a égalité, donc le triangle est rectangle (réciproque de Pythagore). Étape 4, le piège : l'angle droit est au sommet OPPOSÉ au plus grand côté [IK], c'est-à-dire au sommet J — pas en I ni en K, qui sont les extrémités de l'hypoténuse.
Un triangle a des côtés de 3 cm, 4 cm et 5 cm. Est-il rectangle ?
- A.Non, car 5 ≠ 3 + 4
- B.On ne peut pas savoir sans figure
- C.Non, car 3² + 4² ≠ 5²
- D.Oui, car 5² = 3² + 4²Bonne réponse
Réponse : D — Oui, car 5² = 3² + 4²
On compare le carré du plus grand côté et la somme des carrés des deux autres : 5² = 25 et 3² + 4² = 9 + 16 = 25. Il y a égalité, donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle. Pas besoin de figure : les trois longueurs suffisent.
ABC est rectangle en A, avec BC = 10 cm et AB = 6 cm. Combien mesure AC ?
- A.4 cm
- B.8 cmBonne réponse
- C.11,7 cm
- D.64 cm
Réponse : B — 8 cm
BC est l'hypoténuse. On cherche un côté de l'angle droit, donc on soustrait : AC² = BC² − AB² = 100 − 36 = 64, d'où AC = √64 = 8 cm. Si tu trouves environ 11,7, tu as additionné (100 + 36) au lieu de soustraire ; 64 correspond à un oubli de racine carrée et 4 à la soustraction des longueurs (10 − 6).
Un triangle a des côtés de 6 cm, 8 cm et 10 cm. Que peut-on dire ?
- A.Il est rectangle, car 10² = 6² + 8²Bonne réponse
- B.Il est rectangle, car 6 + 8 > 10
- C.Il n'est pas rectangle
- D.Il est équilatéral
Réponse : A — Il est rectangle, car 10² = 6² + 8²
Le plus grand côté mesure 10 : 10² = 100 et 6² + 8² = 36 + 64 = 100. Il y a égalité, donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle. L'inégalité 6 + 8 > 10 dit seulement que le triangle existe, pas qu'il est rectangle.
Une échelle de 5 m est appuyée contre un mur. Son pied est à 3 m du mur. À quelle hauteur l'échelle touche-t-elle le mur ?
- A.4 mBonne réponse
- B.√34 m
- C.2 m
- D.16 m
Réponse : A — 4 m
Le mur, le sol et l'échelle forment un triangle rectangle dont l'hypoténuse est l'échelle (5 m). La hauteur h vérifie : h² = 5² − 3² = 25 − 9 = 16, donc h = √16 = 4 m. Si tu trouves √34, tu as additionné 25 + 9 : or l'échelle est l'hypoténuse, on doit soustraire.
Dans le triangle ABC, AB = 6,5 cm, AC = 7,2 cm et BC = 9,7 cm. Ce triangle est-il rectangle ?
- A.Non, le calcul ne tombe pas juste
- B.Oui, rectangle en B
- C.Oui, rectangle en ABonne réponse
- D.Non, car 9,7 n'est pas entier
Réponse : C — Oui, rectangle en A
Le plus grand côté est BC : BC² = 9,7² = 94,09. Et AB² + AC² = 42,25 + 51,84 = 94,09. Il y a égalité, donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle. L'angle droit est au sommet opposé à l'hypoténuse [BC], c'est-à-dire en A. La réciproque fonctionne aussi avec des nombres décimaux !
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