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Résoudre des équations

Quatrième · Maths · Nombres et calculs

Nombres et calculs

Comprendre une équation et la transformer

Jusqu'ici, tu calculais : on te donnait les nombres, tu trouvais le résultat. Avec les équations, on fait le chemin inverse : on connaît le résultat, et on cherche le nombre de départ. C'est l'outil qui permet de traduire un problème en langage mathématique et de le résoudre sans tâtonner.

Tester si un nombre est solution

C'est la question la plus simple qu'on puisse te poser, et elle tombe souvent. La méthode ne change jamais : tu remplaces x par la valeur proposée, tu calcules séparément chaque membre, puis tu compares.

Les deux règles qui permettent de résoudre

Imagine une balance en équilibre : les deux plateaux se valent. Tant que tu fais exactement la même chose des deux côtés, l'équilibre est conservé. C'est toute l'idée de la résolution d'équation.

RègleCe qu'on a le droit de faireExemple
Règle 1 : additionAjouter ou soustraire un même nombre aux deux membresx + 7 = 12, on soustrait 7 des deux côtés : x = 5
Règle 2 : multiplicationMultiplier ou diviser les deux membres par un même nombre non nul3x = 21, on divise par 3 des deux côtés : x = 7
Conséquence pratiqueUn terme qui change de membre change de signex + 7 = 12 devient x = 12 − 7
Conséquence pratiqueUn facteur qui change de membre passe en diviseur3x = 21 devient x = 21/3

Nombres et calculs

Méthode de résolution et mise en équation

Toutes les équations du programme de 4e se résolvent avec le même plan de bataille. Une fois qu'il est automatique, tu peux te concentrer sur la vraie difficulté du brevet : traduire un énoncé en équation.

Avec des parenthèses. Le seul changement est l'étape 0 : on développe. Attention au signe moins devant une parenthèse, qui change tous les signes à l'intérieur.

Exemple : 3(x + 2) = 5x − 4 devient 3x + 6 = 5x − 4, puis 3x − 5x = −4 − 6, soit −2x = −10, donc x = −10/−2 = 5. Vérification : 3 × (5 + 2) = 21 et 5 × 5 − 4 = 21. C'est bon.

Mettre un problème en équation

Exercices corrigés

  1. Quelle est la solution de l'équation x + 7 = 12 ?

    • A.x = 5Bonne réponse
    • B.x = 19
    • C.x = −5
    • D.x = −19

    Réponse : A — x = 5

    On soustrait 7 aux deux membres : x + 7 − 7 = 12 − 7, donc x = 5. Vérification : 5 + 7 = 12, c'est bon. Répondre 19 est l'erreur classique : quand le 7 change de membre, il change de signe, on fait donc 12 − 7 et non 12 + 7.

  2. Quelle est la solution de l'équation 3x = 21 ?

    • A.x = 63
    • B.x = 7Bonne réponse
    • C.x = 24
    • D.x = 18

    Réponse : B — x = 7

    Ici 3x signifie 3 × x. Pour isoler x, on divise les deux membres par 3 : x = 21/3 = 7. Vérification : 3 × 7 = 21. Répondre 63, c'est multiplier au lieu de diviser. Répondre 24 ou 18, c'est ajouter ou soustraire 3, alors que 3 est un facteur, pas un terme.

  3. Quelle est la solution de l'équation x − 9 = −4 ?

    • A.x = −13
    • B.x = 13
    • C.x = −5
    • D.x = 5Bonne réponse

    Réponse : D — x = 5

    On ajoute 9 aux deux membres : x = −4 + 9 = 5. Vérification : 5 − 9 = −4, c'est correct. Répondre −13, c'est faire −4 − 9 en oubliant que le terme change de signe quand il change de membre. Répondre −5, c'est se tromper dans l'addition de relatifs : −4 + 9 donne bien +5 car 9 est plus grand que 4.

  4. Quelle est la solution de l'équation 2x + 1 = 9 ?

    • A.x = 4Bonne réponse
    • B.x = 5
    • C.x = 20
    • D.x = 4,5

    Réponse : A — x = 4

    On soustrait 1 aux deux membres : 2x = 8. Puis on divise par 2 : x = 4. Vérification : 2 × 4 + 1 = 9. Répondre 5, c'est diviser d'abord par 2 en oubliant le +1. Répondre 4,5 revient à faire 9/2 sans enlever le 1. Répondre 20, c'est multiplier (9 + 1) × 2.

  5. Quelle est la solution de l'équation 4x + 3 = 2x + 11 ?

    • A.x = 7
    • B.x = 4Bonne réponse
    • C.x = 2
    • D.x = 14

    Réponse : B — x = 4

    On regroupe les x à gauche et les nombres à droite : 4x − 2x = 11 − 3, donc 2x = 8, donc x = 4. Vérification : à gauche 4 × 4 + 3 = 19, à droite 2 × 4 + 11 = 19. Les membres sont égaux. Répondre 7, c'est faire 11 − 3 = 8 puis oublier de diviser par 2 (et se tromper au passage). Répondre 14, c'est additionner 11 + 3 au lieu de soustraire.

  6. Quelle est la solution de l'équation 5x − 9 = 2x + 6 ?

    • A.x = 1
    • B.x = −5
    • C.x = 5Bonne réponse
    • D.x = 15

    Réponse : C — x = 5

    On regroupe : 5x − 2x = 6 + 9, donc 3x = 15, donc x = 5. Vérification : à gauche 5 × 5 − 9 = 16, à droite 2 × 5 + 6 = 16. C'est cohérent. Répondre 15, c'est oublier la dernière division par 3. Répondre 1, c'est faire 6 − 9 = −3 en gardant le mauvais signe pour le −9 qui change de membre.

  7. Quelle est la solution de l'équation 2(x − 3) = 14 ?

    • A.x = 4
    • B.x = 7
    • C.x = 11
    • D.x = 10Bonne réponse

    Réponse : D — x = 10

    Deux chemins possibles. Par développement : 2x − 6 = 14, donc 2x = 20, donc x = 10. Ou plus rapide : on divise d'abord les deux membres par 2, ce qui donne x − 3 = 7, donc x = 10. Vérification : 2 × (10 − 3) = 2 × 7 = 14. Répondre 7, c'est s'arrêter juste avant d'ajouter 3. Répondre 4, c'est développer en oubliant de multiplier le 3 par 2.

  8. Quelle est la solution de l'équation 2x/5 = 4 ?

    • A.x = 10Bonne réponse
    • B.x = 20
    • C.x = 0,8
    • D.x = 2

    Réponse : A — x = 10

    On multiplie les deux membres par 5 : 2x = 20. Puis on divise par 2 : x = 10. Vérification : (2 × 10)/5 = 20/5 = 4. Répondre 20, c'est oublier le facteur 2 devant le x. Répondre 0,8, c'est faire 4/5 en inversant l'opération. Un bon réflexe : le produit en croix donne 2x = 4 × 5.

  9. Quelle est la solution de l'équation 3x + 10 = x + 2 ?

    • A.x = 4
    • B.x = −4Bonne réponse
    • C.x = −6
    • D.x = 6

    Réponse : B — x = −4

    On regroupe : 3x − x = 2 − 10, donc 2x = −8, donc x = −4. Vérification : à gauche 3 × (−4) + 10 = −12 + 10 = −2, à droite −4 + 2 = −2. Les deux membres valent −2. Répondre +4, c'est oublier le signe du résultat de 2 − 10. Une solution négative n'a rien d'anormal, il ne faut pas la « corriger » !

  10. On cherche un nombre dont le triple, augmenté de 5, vaut 26. Quelle équation traduit correctement cet énoncé ?

    • A.3(x + 5) = 26
    • B.3x − 5 = 26
    • C.3x + 5 = 26Bonne réponse
    • D.x + 5 = 3 × 26

    Réponse : C — 3x + 5 = 26

    « Le triple du nombre » se traduit par 3x. « Augmenté de 5 » ajoute 5 à ce triple, donc 3x + 5. « Vaut 26 » donne le signe égal : 3x + 5 = 26. En résolvant : 3x = 21, donc x = 7 (vérification : 3 × 7 + 5 = 26). L'écriture 3(x + 5) correspondrait au triple du nombre augmenté de 5, ce qui n'est pas la même chose : ici on augmente le triple, pas le nombre.

  11. Quelle est la solution de l'équation −2x = 10 ?

    • A.x = 5
    • B.x = 20
    • C.x = −8
    • D.x = −5Bonne réponse

    Réponse : D — x = −5

    On divise les deux membres par −2 : x = 10/(−2) = −5. Vérification : −2 × (−5) = +10, c'est correct. Répondre 5 est le piège classique : on oublie le signe moins du coefficient. Rappelle-toi la règle des signes : un quotient d'un nombre positif par un nombre négatif est négatif. Répondre −8, c'est soustraire au lieu de diviser.

  12. Quelle est la solution de l'équation 5(x − 1) = 3(x + 3) ?

    • A.x = 2
    • B.x = 7Bonne réponse
    • C.x = −7
    • D.x = 4

    Réponse : B — x = 7

    On développe les deux membres : 5x − 5 = 3x + 9. On regroupe : 5x − 3x = 9 + 5, donc 2x = 14, donc x = 7. Vérification : à gauche 5 × (7 − 1) = 5 × 6 = 30, à droite 3 × (7 + 3) = 3 × 10 = 30. Parfait. L'erreur la plus fréquente est d'oublier de multiplier le second terme de la parenthèse : 5(x − 1) vaut 5x − 5, pas 5x − 1.

S'entraîner sur ce chapitre

Ce chapitre compte 36 exercices corrigés dans l'application, avec le suivi de ta progression.

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