Angles et droites parallèles
Cinquième · Maths · Espace et géométrie
Espace et géométrie
Reconnaître les angles
Quand deux droites se croisent, ou quand une troisième droite (une sécante) coupe deux autres droites, il se forme des angles qui ont des noms bien précis. Savoir les reconnaître est la première étape : c'est ensuite ce qui permet de calculer des mesures d'angles sans rapporteur.
Cette propriété est vraie tout le temps, même sans droites parallèles : c'est simplement dû au fait que deux angles adjacents formant une droite sont supplémentaires (leur somme fait 180°).
Deux droites coupées par une sécante
Maintenant, une sécante coupe deux droites (d) et (d'). Il se forme huit angles. Parmi eux, deux familles nous intéressent : les angles correspondants et les angles alternes-internes.
Espace et géométrie
Angles et parallélisme : les propriétés
Voici le cœur du chapitre : le lien entre les droites parallèles et l'égalité des angles. Ce lien marche dans les deux sens, et il faut bien distinguer les deux.
| Type d'angles | Position | Égaux si les droites sont parallèles ? |
|---|---|---|
| Opposés par le sommet | Face à face au point d'intersection (forme X) | Toujours égaux (même sans parallèles) |
| Correspondants | Même position par rapport à la sécante (forme F) | Égaux seulement si les droites sont parallèles |
| Alternes-internes | Entre les droites, de part et d'autre de la sécante (forme Z) | Égaux seulement si les droites sont parallèles |
Exercices corrigés
Deux droites se coupent. Que peut-on dire de deux angles opposés par le sommet ?
- A.Ils ont la même mesureBonne réponse
- B.Leur somme vaut 180°
- C.Leur somme vaut 90°
- D.L'un est le double de l'autre
Réponse : A — Ils ont la même mesure
Deux angles opposés par le sommet ont toujours la même mesure, et cela même sans droites parallèles. Ce sont les angles ADJACENTS (côte à côte le long d'une droite) dont la somme vaut 180°.
Deux angles sont supplémentaires. Que vaut la somme de leurs mesures ?
- A.90°
- B.360°
- C.45°
- D.180°Bonne réponse
Réponse : D — 180°
Deux angles supplémentaires ont une somme de 180°. Ne confonds pas avec complémentaires (somme 90°). Astuce : « supplémentaire » contient un S comme « 180 »... ou plus simplement, deux angles qui forment une droite (un angle plat) sont supplémentaires.
Deux angles sont complémentaires. Que vaut la somme de leurs mesures ?
- A.180°
- B.100°
- C.90°Bonne réponse
- D.360°
Réponse : C — 90°
Deux angles complémentaires ont une somme de 90° (comme les deux angles aigus d'un triangle rectangle). Ne les confonds pas avec les angles supplémentaires, dont la somme vaut 180°.
Deux droites se coupent. Un des angles formés mesure 110°. Combien mesure l'angle qui lui est opposé par le sommet ?
- A.70°
- B.110°Bonne réponse
- C.55°
- D.180°
Réponse : B — 110°
Les angles opposés par le sommet ont la même mesure : l'angle opposé mesure donc 110°. Répondre 70° (= 180° − 110°) donnerait un angle ADJACENT, pas l'angle opposé par le sommet.
Deux angles adjacents forment une droite (un angle plat). L'un mesure 130°. Combien mesure l'autre ?
- A.130°
- B.230°
- C.50°Bonne réponse
- D.40°
Réponse : C — 50°
Deux angles adjacents qui forment une droite sont supplémentaires : leur somme vaut 180°. Donc l'autre mesure 180° − 130° = 50°. Vérification : 130° + 50° = 180°. C'est correct.
Deux droites parallèles sont coupées par une sécante. Un angle correspondant mesure 65°. Combien mesure l'autre angle correspondant ?
- A.65°Bonne réponse
- B.115°
- C.25°
- D.130°
Réponse : A — 65°
Les droites étant parallèles, les angles correspondants sont égaux : le second mesure aussi 65°. Répondre 115° (= 180° − 65°) mélangerait avec un angle supplémentaire.
Deux droites parallèles sont coupées par une sécante. Un angle alterne-interne mesure 72°. Combien mesure l'autre angle alterne-interne ?
- A.36°
- B.108°
- C.72°Bonne réponse
- D.18°
Réponse : C — 72°
Comme les droites sont parallèles, les angles alternes-internes sont égaux : le second mesure aussi 72°. Répondre 108° (= 180° − 72°) serait un supplémentaire, et 18° un complémentaire : rien à voir avec les alternes-internes.
Deux angles sont complémentaires. L'un mesure 35°. Combien mesure l'autre ?
- A.145°
- B.65°
- C.55°Bonne réponse
- D.35°
Réponse : C — 55°
Complémentaires signifie que leur somme vaut 90°. Donc l'autre angle mesure 90° − 35° = 55°. Répondre 145° (= 180° − 35°) confond complémentaire (90°) et supplémentaire (180°).
Deux droites coupées par une sécante forment des angles alternes-internes ÉGAUX. Que peut-on en déduire ?
- A.Les deux droites sont perpendiculaires
- B.Les deux droites sont parallèlesBonne réponse
- C.Les deux droites sont sécantes
- D.On ne peut rien conclure
Réponse : B — Les deux droites sont parallèles
C'est la propriété réciproque : si les angles alternes-internes sont égaux, alors les deux droites sont parallèles. C'est justement l'outil qui sert à PROUVER un parallélisme à partir de mesures d'angles.
Deux droites parallèles sont coupées par une sécante. Un angle mesure 40°. Combien mesure un angle qui lui est adjacent et forme une droite avec lui ?
- A.40°
- B.50°
- C.140°Bonne réponse
- D.320°
Réponse : C — 140°
Deux angles adjacents qui forment une droite sont supplémentaires : 180° − 40° = 140°. Vérification : 40° + 140° = 180°. Répondre 50° confondrait avec un complémentaire (90° − 40°).
Deux droites parallèles (d) et (d') sont coupées par une sécante. Un angle en (d) mesure 118°. Son angle alterne-interne sur (d') mesure...
- A.62°
- B.118°Bonne réponse
- C.59°
- D.42°
Réponse : B — 118°
Les droites sont parallèles, donc les angles alternes-internes sont égaux : l'angle sur (d') mesure aussi 118°. Répondre 62° (= 180° − 118°) donnerait un angle supplémentaire, pas l'alterne-interne.
Deux droites coupées par une sécante ne sont PAS parallèles. Que peut-on dire de leurs angles alternes-internes ?
- A.Ils sont forcément égaux
- B.Ils ne sont pas égauxBonne réponse
- C.Leur somme vaut 180°
- D.Ils sont opposés par le sommet
Réponse : B — Ils ne sont pas égaux
L'égalité des angles alternes-internes caractérise le parallélisme : si les droites ne sont pas parallèles, ces angles ne sont PAS égaux (sinon, par la réciproque, les droites seraient parallèles). Leur somme n'a aucune raison de faire 180°.
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