Initiation au calcul littéral

Nombres et calculs

Écrire et calculer une expression littérale

En calcul littéral, on utilise des lettres pour représenter des nombres. Une lettre peut désigner un nombre inconnu, ou un nombre qui peut changer (comme la longueur d'un côté). Une expression qui contient au moins une lettre s'appelle une expression littérale.

À quoi sert une lettre ?

On utilise une lettre plutôt qu'un nombre précis quand on veut écrire une règle valable pour tous les cas, sans se limiter à un seul exemple : la formule 4 × c donne le périmètre de n'importe quel carré, quelle que soit sa taille, alors qu'écrire « le périmètre d'un carré de côté 5 vaut 20 » ne vaudrait que pour ce carré-là. Une lettre représente donc soit un nombre qu'on ne connaît pas encore et qu'on va chercher, soit un nombre qui peut prendre plusieurs valeurs différentes selon la situation.

Les conventions d'écriture

Pour alléger l'écriture, on supprime le signe × devant une lettre. On écrit aussi le nombre avant la lettre, et un produit de deux facteurs identiques se note avec un carré. Ces conventions ne changent pas la valeur du calcul, elles le rendent seulement plus rapide à écrire et à lire : 3a désigne exactement le même nombre que 3 × a. On les utilise à chaque fois qu'un nombre multiplie une lettre ; en revanche, on garde le signe × entre deux nombres (3 × 4 ne s'écrit jamais 34), pour ne pas confondre un produit avec un nombre à deux chiffres.

Calculer pour une valeur donnée

Calculer une expression littérale pour une valeur donnée consiste à remplacer la lettre par le nombre qu'on te donne, puis à appliquer les règles de calcul habituelles. Cette méthode s'utilise chaque fois que l'énoncé précise la valeur de la lettre ; sans cette précision, l'expression reste littérale et ne peut pas se calculer davantage. Si aucune valeur n'est donnée pour la lettre, l'expression littérale ne peut pas être réduite à un seul nombre : elle reste une formule générale, valable pour tous les cas à la fois. Il faut remettre le signe × qui avait été supprimé à l'écriture, sinon on risque de lire la lettre remplacée comme si elle collait au nombre voisin.

Nombres et calculs

Réduire et développer une expression

Une expression littérale peut souvent s'écrire de façon plus courte. Réduire, c'est regrouper ce qui va ensemble. Développer, c'est transformer un produit en une somme grâce à la distributivité. On choisit l'une ou l'autre selon la forme de départ : si l'expression est déjà une somme de termes, on cherche à réduire ; si elle contient une parenthèse précédée d'un facteur, on développe d'abord, puis on réduit ce qui peut encore l'être.

Réduire une expression

Regrouper 3a et 5a fonctionne grâce à la distributivité, utilisée à l'envers : 3a + 5a = (3 + 5) × a = 8a, le facteur a est mis en commun. C'est pour cela que 3a et 5 ne se regroupent pas : il n'y a pas de lettre commune entre un terme en a et un nombre seul, ce sont deux natures différentes qu'on ne peut pas fusionner en un seul terme.

Un exemple avec deux lettres : réduisons 5a + 2b + 3a − b. On regroupe séparément les termes en a (5a + 3a = 8a) et les termes en b (2b − b = b, puisque b s'écrit aussi 1b). Résultat : 8a + b. Chaque lettre se traite indépendamment des autres, sans jamais mélanger les a avec les b.

Développer un produit

Cette règle se justifie avec une aire : un rectangle de largeur k et de longueur (a + b) a la même aire qu'un rectangle de largeur k et de longueur a, posé à côté d'un rectangle de largeur k et de longueur b — dans les deux cas, l'aire totale vaut ka + kb. La distributivité s'applique uniquement quand un facteur multiplie directement une parenthèse ; si la parenthèse est seulement précédée d'un signe + sans multiplication, il n'y a rien à développer, l'expression reste telle quelle.

Exemple mené jusqu'au bout, quand il faut développer puis réduire : 2(x + 3) + 4x. On développe d'abord la parenthèse : 2(x + 3) = 2x + 6. L'expression devient 2x + 6 + 4x. On regroupe ensuite les termes en x : 2x + 4x = 6x. Résultat final : 6x + 6.