Enchaînements d'opérations et priorités
Cinquième · Maths · Nombres et calculs
Nombres et calculs
Les règles de priorité
Quand un calcul contient plusieurs opérations, on ne calcule pas toujours de gauche à droite ! Il existe des règles de priorité qui disent dans quel ordre effectuer les opérations. Si tout le monde ne respectait pas ces règles, un même calcul donnerait des résultats différents selon les personnes : c'est pour cela qu'elles sont indispensables.
Les trois niveaux de priorité
| Priorité | Opérations concernées | Sens de lecture |
|---|---|---|
| 1 (le plus urgent) | ce qui est entre parenthèses | de l'intérieur vers l'extérieur |
| 2 | multiplications × et divisions ÷ | de gauche à droite |
| 3 (le moins urgent) | additions + et soustractions − | de gauche à droite |
Nombres et calculs
Parenthèses et écritures fractionnaires
Les parenthèses servent à forcer une opération à passer en premier, même si ce n'est pas une multiplication ou une division. Elles peuvent complètement changer le résultat d'un calcul : bien les repérer est essentiel. On les utilise chaque fois qu'on veut imposer un ordre différent de celui des priorités habituelles : sans elles, on applique par défaut la règle vue précédemment, multiplications et divisions avant additions et soustractions. Une parenthèse est une priorité absolue : elle passe toujours en premier, même avant une multiplication.
Les parenthèses changent tout
Les parenthèses emboîtées
Quand une expression contient plusieurs parenthèses imbriquées les unes dans les autres, on procède comme pour un problème emboîté dans un autre : on résout d'abord le plus simple, celui qui ne contient aucune autre parenthèse, avant de s'attaquer au niveau suivant. Cette méthode s'impose dès qu'il y a plus d'une paire de parenthèses ; inutile de s'en servir pour une expression qui n'en contient qu'une seule. L'erreur la plus fréquente est de commencer par la parenthèse extérieure, ou d'oublier l'une des parenthèses en cours de route : mieux vaut réécrire l'expression complète à chaque étape, sans rien changer d'autre que la parenthèse qu'on vient de calculer.
La barre de fraction : une parenthèse cachée
Dans une écriture fractionnaire, la barre de fraction joue le rôle de parenthèses : on calcule tout le numérateur (le haut) et tout le dénominateur (le bas) avant de diviser. Par exemple, (7 + 5) / (9 − 3) se lit « 12 divisé par 6 », c'est-à-dire 12 ÷ 6 = 2, et jamais 7 + 5 ÷ 9 − 3. Cette règle vient du sens même de la barre de fraction : elle représente une division entre deux blocs de calcul, exactement comme si chacun était entouré de parenthèses invisibles. On l'applique chaque fois qu'un calcul complet apparaît au-dessus ou en dessous d'une barre de fraction ; si le numérateur ou le dénominateur ne contient qu'un seul nombre, il n'y a bien sûr rien à calculer avant de diviser. L'erreur la plus fréquente consiste à diviser seulement le dernier terme du numérateur par le premier terme du dénominateur, en oubliant que la barre regroupe tout ce qui est au-dessus et tout ce qui est en dessous.
Exercices corrigés
Combien vaut 3 + 4 × 2 ?
- A.11Bonne réponse
- B.14
- C.24
- D.10
Réponse : A — 11
La multiplication est prioritaire : 4 × 2 = 8. Ensuite 3 + 8 = 11. Répondre 14, c'est avoir calculé de gauche à droite (3 + 4 = 7, puis 7 × 2 = 14) : c'est justement l'erreur à éviter.
Combien vaut (5 + 3) × 2 ?
- A.13
- B.10
- C.16Bonne réponse
- D.11
Réponse : C — 16
Les parenthèses sont prioritaires : 5 + 3 = 8, puis 8 × 2 = 16. Répondre 13 (= 5 + 3 × 2), c'est ignorer les parenthèses et faire d'abord la multiplication : mais ici la parenthèse passe avant.
Dans le calcul 7 + 2 × 5, quelle opération effectue-t-on en premier ?
- A.l'addition 7 + 2, car elle est écrite en premier
- B.on lit simplement de gauche à droite
- C.les opérations dans l'ordre où elles sont écrites
- D.la multiplication 2 × 5, car × est prioritaireBonne réponse
Réponse : D — la multiplication 2 × 5, car × est prioritaire
La multiplication est prioritaire sur l'addition : on commence par 2 × 5 = 10, puis 7 + 10 = 17. L'ordre d'écriture ne compte pas ici : c'est la nature de l'opération (×) qui décide.
Combien vaut 24 ÷ 6 ÷ 2 ?
- A.8
- B.4
- C.2Bonne réponse
- D.6
Réponse : C — 2
Deux divisions au même niveau : on lit de gauche à droite. 24 ÷ 6 = 4, puis 4 ÷ 2 = 2. Répondre 8 (= 24 ÷ (6 ÷ 2) = 24 ÷ 3), c'est avoir fait la deuxième division en premier : interdit !
Combien vaut 5 × (7 − 3) + 2 ?
- A.22Bonne réponse
- B.34
- C.20
- D.18
Réponse : A — 22
Parenthèse d'abord : 7 − 3 = 4. Puis la multiplication : 5 × 4 = 20. Enfin 20 + 2 = 22. Répondre 34 (= 5 × 7 − 3 + 2), c'est avoir oublié la parenthèse ; répondre 20, c'est avoir oublié le « + 2 » final.
Combien vaut 100 − (25 + 15) ?
- A.90
- B.60Bonne réponse
- C.40
- D.140
Réponse : B — 60
Parenthèse d'abord : 25 + 15 = 40, puis 100 − 40 = 60. Répondre 90 (= 100 − 25 + 15), c'est avoir « oublié » que la parenthèse regroupe les deux nombres à soustraire.
Combien vaut 5 × [2 + (9 − 4) × 3] ?
- A.105
- B.45
- C.85Bonne réponse
- D.17
Réponse : C — 85
On part de l'intérieur : 9 − 4 = 5, puis 5 × 3 = 15, puis 2 + 15 = 17. Enfin 5 × 17 = 85. Répondre 105 (= 5 × 7 × 3), c'est avoir additionné 2 + 5 avant de multiplier ; répondre 17, c'est avoir oublié le « 5 × » du début.
Combien vaut 3 × [20 − (4 + 2 × 3)] + 5 ?
- A.11
- B.45
- C.30
- D.35Bonne réponse
Réponse : D — 35
On part du plus profond : 2 × 3 = 6, puis 4 + 6 = 10. Ensuite 20 − 10 = 10, puis 3 × 10 = 30, et enfin 30 + 5 = 35. Répondre 30, c'est avoir oublié le « + 5 » ; répondre 11, c'est avoir fait 4 + 2 avant de multiplier par 3 dans la parenthèse.
Combien vaut 20 − 6 ÷ 2 ?
- A.7
- B.17Bonne réponse
- C.14
- D.10
Réponse : B — 17
La division est prioritaire : 6 ÷ 2 = 3. Ensuite 20 − 3 = 17. Répondre 7 (= (20 − 6) ÷ 2 = 14 ÷ 2), c'est avoir fait la soustraction avant la division.
Combien vaut 12 ÷ 4 + 1 ?
- A.4Bonne réponse
- B.2,4
- C.6
- D.3
Réponse : A — 4
La division est prioritaire : 12 ÷ 4 = 3, puis 3 + 1 = 4. Répondre 2,4 (= 12 ÷ (4 + 1) = 12 ÷ 5), c'est avoir ajouté 4 + 1 en premier alors qu'il n'y a pas de parenthèses.
Combien vaut 2 + 3 × 4 − 5 ?
- A.15
- B.9Bonne réponse
- C.45
- D.20
Réponse : B — 9
On fait d'abord la multiplication : 3 × 4 = 12. Il reste 2 + 12 − 5, de gauche à droite : 2 + 12 = 14, puis 14 − 5 = 9. Répondre 15, c'est avoir tout calculé de gauche à droite ((2 + 3) × 4 − 5).
Combien vaut 24 ÷ (2 + 4) ?
- A.16
- B.8
- C.12
- D.4Bonne réponse
Réponse : D — 4
La parenthèse d'abord : 2 + 4 = 6, puis 24 ÷ 6 = 4. Répondre 16 (= 24 ÷ 2 + 4 = 12 + 4), c'est avoir ignoré la parenthèse et divisé seulement par 2.
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Ce chapitre compte 38 exercices corrigés dans l'application, avec le suivi de ta progression.
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