Divisibilité, multiples et diviseurs
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Nombres et calculs
Multiples, diviseurs et divisibilité
Quand une division « tombe juste » (reste égal à 0), on dit que le nombre est divisible. Ce chapitre te donne le vocabulaire (multiple, diviseur) et des astuces pour reconnaître très vite si un nombre en divise un autre, sans poser la division. On utilise ce vocabulaire dès qu'on simplifie une fraction, qu'on partage une quantité en parts égales, ou qu'on cherche un point commun entre deux nombres : ces notions s'appliquent à tous les nombres entiers positifs, sans exception.
Multiple et diviseur : deux mots pour une même situation
Remarque importante : les rôles s'inversent selon le nombre auquel on s'intéresse. 24 est un multiple de 4, mais aussi de 6, de 8, de 12 et de 24 lui-même. Un même nombre a donc en général plusieurs diviseurs, mais surtout une infinité de multiples : il suffit de continuer à multiplier k dans a = b × k pour en fabriquer de nouveaux, encore et encore.
Trouver tous les diviseurs d'un nombre
Pourquoi les diviseurs vont-ils par paires ? Chaque fois qu'une division tombe juste, elle fait apparaître deux nombres dont le produit vaut le nombre de départ : le diviseur testé, et son partenaire, le quotient obtenu. Tester 1 fait donc automatiquement apparaître 12 comme partenaire, tester 2 fait apparaître 6, et tester 3 fait apparaître 4. On peut s'arrêter dès que le diviseur testé dépasse son propre partenaire, car au-delà, les mêmes paires réapparaîtraient simplement dans l'autre sens.
L'erreur la plus fréquente consiste à inverser le sens de la phrase. Dire « 12 est un diviseur de 3 » est faux : 12 ne peut pas diviser un nombre plus petit que lui en donnant un résultat entier. C'est au contraire 3 qui est un diviseur de 12, puisque 12 = 3 × 4. Un repère utile pour vérifier : parmi deux nombres entiers non nuls, un diviseur est toujours inférieur ou égal au nombre qu'il divise, alors qu'un multiple lui est toujours supérieur ou égal. En cas de doute pendant un exercice, ce simple repère de taille suffit souvent à trancher sans refaire aucun calcul.
Nombres et calculs
Critères de divisibilité et nombres premiers
Il existe des critères de divisibilité : de petites règles qui permettent de savoir, en un coup d'œil, si un nombre est divisible par 2, 3, 4, 5, 9 ou 10, sans poser l'opération. Ce sont des outils très pratiques pour simplifier des fractions ou repérer des diviseurs.
Les critères à connaître par cœur
| Divisible par... | Critère | Exemple |
|---|---|---|
| 2 | le nombre se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8 | 48 se termine par 8 → oui |
| 5 | le nombre se termine par 0 ou 5 | 45 se termine par 5 → oui |
| 10 | le nombre se termine par 0 | 90 se termine par 0 → oui |
| 3 | la somme des chiffres est divisible par 3 | 45 : 4 + 5 = 9 → oui |
| 9 | la somme des chiffres est divisible par 9 | 90 : 9 + 0 = 9 → oui |
| 4 | le nombre formé par les deux derniers chiffres est divisible par 4 | 116 : 16 est divisible par 4 → oui |
Les nombres premiers
Exercices corrigés
Le nombre 30 est-il divisible par 10 ?
- A.non, ce n'est pas possible
- B.oui, c'est un multiple de 10Bonne réponse
- C.non, seulement divisible par 3
- D.non, seulement divisible par 5
Réponse : B — oui, c'est un multiple de 10
Un nombre est divisible par 10 s'il se termine par 0 : c'est le cas de 30 (30 ÷ 10 = 3). Il est d'ailleurs aussi divisible par 2, 3 et 5, mais la question portait sur 10.
Combien de diviseurs possède le nombre 7 ?
- A.3, en comptant aussi 0 comme diviseur
- B.aucun, car 7 est un nombre premier
- C.exactement 2 diviseurs : 1 et 7Bonne réponse
- D.7, comme si le compte égalait le nombre
Réponse : C — exactement 2 diviseurs : 1 et 7
7 ne se divise que par 1 et par 7 : il a exactement deux diviseurs. C'est justement la définition d'un nombre premier. Tout nombre possède au moins deux diviseurs (1 et lui-même), donc « aucun » est impossible.
Lequel de ces nombres est pair (divisible par 2) ?
- A.48Bonne réponse
- B.35
- C.21
- D.17
Réponse : A — 48
Un nombre est divisible par 2 s'il se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8. 48 se termine par 8 : il est pair. Les autres se terminent par 5, 1 et 7 : ce sont des nombres impairs.
Le nombre 48 est-il divisible par 3 ?
- A.non, car 4 + 8 = 12 n'est pas divisible par 9
- B.seulement par 2, car 48 est un nombre pair
- C.oui, mais pas par 2, en pensant les deux exclusifs
- D.oui, car 4 + 8 = 12 est divisible par 3Bonne réponse
Réponse : D — oui, car 4 + 8 = 12 est divisible par 3
Critère de divisibilité par 3 : on additionne les chiffres. 4 + 8 = 12, et 12 est divisible par 3, donc 48 l'est aussi (48 ÷ 3 = 16). 48 est en plus divisible par 2 (il se termine par 8), donc l'option « pas par 2 » est fausse.
Le nombre 90 est-il divisible par 9 ?
- A.oui, car 9 + 0 = 9 est divisible par 9Bonne réponse
- B.non, car 90 se termine par un zéro
- C.seulement par 3, car 9 est un multiple de 3
- D.non, par 2 seulement, car 90 est un nombre pair
Réponse : A — oui, car 9 + 0 = 9 est divisible par 9
Critère de divisibilité par 9 : la somme des chiffres doit être divisible par 9. Ici 9 + 0 = 9, donc 90 est divisible par 9 (90 ÷ 9 = 10). Il est aussi divisible par 2, 3, 5 et 10, mais la question portait sur 9.
Un multiple de 6 est toujours...
- A.un nombre premier, comme 2 ou 3
- B.divisible par 4, comme 12 ou 24
- C.impair, comme 15, 21 ou 33
- D.divisible par 2 et par 3Bonne réponse
Réponse : D — divisible par 2 et par 3
Comme 6 = 2 × 3, tout multiple de 6 est divisible à la fois par 2 et par 3 (par exemple 12, 18, 24). Il est donc pair, jamais premier. Attention : il n'est pas forcément divisible par 4 (18 est un multiple de 6 mais pas de 4).
On sait qu'un nombre est divisible par 6. Que peut-on en déduire à coup sûr ?
- A.il est divisible par 12
- B.il est divisible par 2 et par 3Bonne réponse
- C.il est divisible par 4
- D.c'est un nombre premier
Réponse : B — il est divisible par 2 et par 3
Comme 6 = 2 × 3, un nombre divisible par 6 est forcément divisible par 2 et par 3. En revanche, ce n'est pas garanti pour 12 ni pour 4 : par exemple 18 est divisible par 6, mais pas par 12 ni par 4. Et un multiple de 6 n'est jamais premier.
Le nombre 5 est-il un diviseur de 35 ?
- A.non
- B.seulement de 30
- C.oui, car 35 = 5 × 7Bonne réponse
- D.on ne peut pas savoir
Réponse : C — oui, car 35 = 5 × 7
Comme 35 = 5 × 7, la division de 35 par 5 tombe juste (35 ÷ 5 = 7). Donc 5 divise 35 : c'est un diviseur de 35, et 35 est un multiple de 5.
Lequel de ces nombres est un multiple de 4 ?
- A.12Bonne réponse
- B.6
- C.10
- D.14
Réponse : A — 12
12 = 4 × 3, donc 12 est un multiple de 4. Les autres ne « tombent pas juste » : 6 ÷ 4, 10 ÷ 4 et 14 ÷ 4 laissent un reste.
Par quel chiffre se termine un nombre divisible par 5 ?
- A.par 2
- B.par n'importe quel chiffre pair
- C.par 1
- D.par 0 ou par 5Bonne réponse
Réponse : D — par 0 ou par 5
Le critère de divisibilité par 5 : le nombre se termine par 0 ou par 5. Par exemple 20, 45, 100 sont divisibles par 5. Se terminer par un chiffre pair, c'est le critère de divisibilité par 2, pas par 5.
Quelle est la liste complète des diviseurs de 12 ?
- A.1, 2, 3, 12
- B.1, 2, 3, 4, 6, 12Bonne réponse
- C.2, 3, 4, 6
- D.1 et 12
Réponse : B — 1, 2, 3, 4, 6, 12
On cherche par paires : 12 = 1 × 12, 12 = 2 × 6, 12 = 3 × 4. Cela donne 1, 2, 3, 4, 6, 12. Oublier 4 et 6 (première option) ou oublier 1 et 12 (troisième option) donne une liste incomplète.
Le nombre 45 est divisible par lesquels de ces nombres ?
- A.2 et 10
- B.2 seulement
- C.3, 5 et 9Bonne réponse
- D.10 seulement
Réponse : C — 3, 5 et 9
45 se termine par 5 : divisible par 5 mais pas par 2 ni par 10. Somme des chiffres : 4 + 5 = 9, qui est divisible par 3 ET par 9. Donc 45 est divisible par 3, 5 et 9.
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Ce chapitre compte 37 exercices corrigés dans l'application, avec le suivi de ta progression.
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