Statistiques : moyenne, tableaux et diagrammes

Organisation et gestion de données

Effectifs, fréquences et moyenne

Faire des statistiques, c'est organiser et résumer une grande quantité d'informations (des notes, des tailles, des réponses à un sondage...) pour en tirer un sens. On les range dans un tableau, puis on calcule des nombres qui les résument, comme la moyenne. Un tableau bien construit permet de repérer d'un coup d'œil la valeur la plus fréquente, sans devoir relire toutes les données une par une.

La fréquence sert à comparer des séries de tailles différentes. Dire que 5 élèves sur 20 ont un chien (25 %) se compare directement à un résultat de 12 sur 50 (24 %), alors que comparer les effectifs 5 et 12 directement ne dirait rien sur la proportion réelle, puisque les deux groupes n'ont pas la même taille.

Le tableau d'effectifs

On regroupe les données identiques et on compte combien de fois chacune apparaît. Voici les notes obtenues par 20 élèves à un contrôle noté sur 5 :

L'effectif total est 2 + 3 + 6 + 5 + 4 = 20 élèves. La note 3 a l'effectif le plus grand (6 élèves l'ont obtenue) : c'est la valeur la plus fréquente de la série. À l'inverse, la note 1 n'a été obtenue que par 2 élèves, c'est l'effectif le plus faible du tableau. Vérifier que la somme des effectifs retombe sur le nombre total de données (ici 20) permet de repérer une erreur de comptage avant de continuer les calculs.

Calculer une moyenne

Quand plusieurs données ont la même valeur, il est plus rapide de multiplier cette valeur par son effectif plutôt que de l'additionner autant de fois : c'est la moyenne pondérée, elle donne exactement le même résultat que la moyenne simple. On ne peut pas se contenter de faire la moyenne des valeurs distinctes du tableau, ici (1 + 2 + 3 + 4 + 5) ÷ 5 = 3 : ce calcul oublie que certaines notes reviennent plus souvent que d'autres, et fausse le résultat.

Un autre exemple mené jusqu'au bout : à un contrôle, 12 élèves ont eu 8 et 8 élèves ont eu 13. La moyenne se calcule avec les effectifs : (12 × 8 + 8 × 13) ÷ (12 + 8) = (96 + 104) ÷ 20 = 200 ÷ 20 = 10. Attention, ce n'est pas la moyenne simple de 8 et 13, qui vaudrait 10,5 : il faut tenir compte du nombre d'élèves derrière chaque note.

Organisation et gestion de données

Représenter et lire des données

Un tableau, c'est précis, mais un diagramme permet de voir d'un coup d'œil comment les données se répartissent. Les deux plus courants au collège sont le diagramme en bâtons et le diagramme circulaire (le "camembert"). Le choix entre les deux dépend de ce qu'on veut montrer : le diagramme en bâtons facilite la comparaison précise des valeurs entre elles, tandis que le diagramme circulaire met en valeur la part que représente chaque catégorie dans un ensemble complet. Ce dernier devient d'ailleurs difficile à lire dès qu'il y a trop de catégories : mieux vaut alors revenir à un diagramme en bâtons.

Construire un diagramme circulaire

Le disque entier (360°) représente l'effectif total (soit 100 %). L'angle d'un secteur est proportionnel à l'effectif de sa catégorie : c'est encore de la proportionnalité !

Ce lien est le même que dans n'importe quel tableau de proportionnalité : si l'effectif total correspond à 360°, alors un effectif deux fois plus petit correspond à un angle deux fois plus petit, et ainsi de suite. Il existe aussi un raccourci pratique : comme 360° correspond à 100 %, chaque pourcent vaut 360 ÷ 100 = 3,6°. Pour convertir directement un pourcentage en angle, il suffit donc de le multiplier par 3,6, et inversement de diviser un angle par 3,6 pour retrouver le pourcentage.

On peut contrôler ce résultat avec le raccourci du pourcentage : 1/3 vaut environ 33,3 %, donc l'angle vaut environ 33,3 × 3,6 = 120°. Les deux méthodes tombent bien sur le même résultat, ce qui confirme le calcul.

Un autre résumé : l'étendue

L'étendue est facile à calculer et donne une idée rapide de la dispersion d'une série, mais elle a une limite importante : elle ne dépend que des deux valeurs extrêmes et ignore complètement comment les autres se répartissent entre elles. Deux séries peuvent avoir la même étendue tout en étant très différentes : une seule valeur inhabituellement grande ou petite suffit à faire grimper l'étendue, même si le reste du groupe reste très homogène.

Un exemple concret de cette dernière erreur : sur 50 personnes interrogées, 20 préfèrent le cinéma. Écrire que l'angle du secteur « cinéma » vaut 20° est faux : 20 est l'effectif, pas un angle. Le bon calcul est angle = (20 ÷ 50) × 360° = 0,4 × 360° = 144°. Un repère simple pour éviter ce piège : un angle se mesure toujours en degrés et ne peut jamais dépasser 360°, alors qu'un effectif compte des personnes ou des objets et n'a aucune limite fixée à l'avance. Ce repère évite bien des confusions le jour d'un contrôle.