La symétrie centrale

Exercices corrigés

1. Le symétrique du point A par rapport au point O est le point A' tel que...

   • A.O est le milieu du segment [AA']Bonne réponse
   • B.A est le milieu du segment [OA']
   • C.(OA') est perpendiculaire à (OA)
   • D.A' est le milieu du segment [OA]

   Réponse : A — O est le milieu du segment [AA']

   Par définition, le symétrique A' de A par rapport à O est tel que O est le MILIEU de [AA'] : A et A' sont de part et d'autre de O et à la même distance de O. Les autres réponses déplacent le milieu ou inventent une perpendiculaire qui n'existe pas dans la définition.

2. La symétrie centrale de centre O correspond à quel mouvement de la figure ?

   • A.Un glissement (une translation) de la figure, sans rotation
   • B.Un effet miroir de la figure le long d'un axe de symétrie
   • C.Un agrandissement proportionnel de la figure de départ
   • D.Un demi-tour (rotation d'un demi-tour) autour de OBonne réponse

   Réponse : D — Un demi-tour (rotation d'un demi-tour) autour de O

   La symétrie centrale, c'est un demi-tour (une rotation d'un demi-tour, soit 180°) autour du centre O. L'effet miroir le long d'un axe, c'est la symétrie AXIALE vue en 6e. Un glissement ou un agrandissement ne sont pas des symétries.

3. Dans un repère, le point A a pour coordonnées (3 ; 1). Quel est le symétrique de A par rapport à l'origine O(0 ; 0) ?

   • A.(3 ; -1)
   • B.(-3 ; 1)
   • C.(-3 ; -1)Bonne réponse
   • D.(1 ; 3)

   Réponse : C — (-3 ; -1)

   Pour un symétrique par rapport à O(0 ; 0), on change le signe des DEUX coordonnées : A(3 ; 1) devient A'(-3 ; -1). Ainsi O est bien le milieu de [AA']. Ne changer qu'une seule coordonnée (réponses 1 et 2) reviendrait à une symétrie axiale par rapport à un axe.

4. Par une symétrie centrale, un angle de 40° a pour image un angle de...

   • A.40°Bonne réponse
   • B.140°
   • C.80°
   • D.20°

   Réponse : A — 40°

   La symétrie centrale conserve les mesures d'angles : l'image d'un angle de 40° est un angle de 40°. Attention à ne pas confondre avec le supplémentaire (140°) ou un doublement (80°) : un demi-tour ne modifie pas la mesure des angles.

5. Le point O est le milieu de [AA']. On sait que A(1 ; 4) et O(3 ; 2). Quelles sont les coordonnées de A' ?

   • A.(2 ; -2)
   • B.(5 ; 0)Bonne réponse
   • C.(4 ; 6)
   • D.(-1 ; 6)

   Réponse : B — (5 ; 0)

   Comme O est le milieu, on passe de A à O en ajoutant (+2 ; -2), donc on passe de O à A' en ajoutant encore (+2 ; -2) : A' = (3+2 ; 2-2) = (5 ; 0). Vérification : le milieu de [AA'] est ((1+5)/2 ; (4+0)/2) = (3 ; 2) = O. C'est correct.

6. Laquelle de ces lettres majuscules N'A PAS de centre de symétrie ?

   • A.H
   • B.ABonne réponse
   • C.N
   • D.X

   Réponse : B — A

   Fais faire un demi-tour à chaque lettre : H, N et X retombent sur elles-mêmes, elles ont un centre de symétrie. La lettre A, elle, se retrouve à l'envers (pointe en bas) : elle n'a PAS de centre de symétrie, seulement un axe vertical.

7. Où se trouve le centre de symétrie d'un parallélogramme ABCD ?

   • A.Au sommet A, comme si un sommet pouvait être un centre de symétrie
   • B.Au milieu du côté [AB], en confondant avec un axe de symétrie
   • C.Au point d'intersection des diagonales [AC] et [BD]Bonne réponse
   • D.Il n'y en a pas, comme pour une figure sans symétrie centrale

   Réponse : C — Au point d'intersection des diagonales [AC] et [BD]

   Le centre de symétrie d'un parallélogramme est le point d'intersection de ses diagonales. Ce point est le milieu commun des deux diagonales : un demi-tour autour de lui échange A avec C et B avec D, et redonne le parallélogramme.

8. Dans un repère, A(-2 ; 5) et O(1 ; -1). Quelles sont les coordonnées du symétrique A' de A par rapport à O ?

   • A.(4 ; -7)Bonne réponse
   • B.(-5 ; 11)
   • C.(0 ; 3)
   • D.(3 ; -6)

   Réponse : A — (4 ; -7)

   O étant le milieu de [AA'], on passe de A à O par (+3 ; -6), donc de O à A' par le même déplacement (+3 ; -6) : A' = (1+3 ; -1-6) = (4 ; -7). Vérification : milieu de [AA'] = ((-2+4)/2 ; (5-7)/2) = (1 ; -1) = O. C'est bon.

9. On sait que B' (5 ; -2) est le symétrique de B (-3 ; 4) par rapport à un point O. Quelles sont les coordonnées de O ?

   • A.(8 ; -6)
   • B.(1 ; 1)Bonne réponse
   • C.(2 ; 2)
   • D.(-1 ; 3)

   Réponse : B — (1 ; 1)

   O est le milieu de [BB'], donc ses coordonnées sont la moyenne de celles de B et B' : x = (-3+5)/2 = 2/2 = 1 et y = (4+(-2))/2 = 2/2 = 1. Donc O(1 ; 1). Ne prends pas la somme des coordonnées (8 ; -6) : le milieu, c'est la moyenne, on divise par 2.

10. Quel est le symétrique du point O par rapport à O lui-même ?

    • A.Un point à l'infini
    • B.Il n'existe pas
    • C.Un point situé à 1 cm de O
    • D.Le point O lui-mêmeBonne réponse

    Réponse : D — Le point O lui-même

    Le centre O est le seul point qui ne bouge pas : son symétrique par rapport à O est O lui-même. On dit que O est invariant. En effet, O est bien le milieu du segment [OO], qui est réduit à un point.

11. On trace le symétrique d'un segment de 5 cm par rapport à un point O. Quelle est la longueur du segment image ?

    • A.10 cm
    • B.2,5 cm
    • C.5 cmBonne réponse
    • D.On ne peut pas savoir

    Réponse : C — 5 cm

    La symétrie centrale conserve les longueurs : l'image d'un segment de 5 cm est un segment de 5 cm (et il lui est parallèle). Doubler (10 cm) ou diviser par 2 (2,5 cm) serait un agrandissement ou une réduction, ce que la symétrie ne fait jamais.

12. Parmi ces figures, laquelle possède un centre de symétrie ?

    • A.Un triangle équilatéral
    • B.Un parallélogrammeBonne réponse
    • C.La lettre A
    • D.Un triangle isocèle non équilatéral

    Réponse : B — Un parallélogramme

    Le parallélogramme a un centre de symétrie : c'est le point d'intersection de ses diagonales. Un demi-tour autour de ce point redonne exactement le parallélogramme. Le triangle équilatéral a 3 axes mais aucun centre de symétrie ; la lettre A a un axe vertical mais pas de centre.