Construction de triangles et inégalité triangulaire

Exercices corrigés

1. Quelle est la somme des trois angles d'un triangle ?

   • A.180°Bonne réponse
   • B.360°
   • C.90°
   • D.100°

   Réponse : A — 180°

   Dans tout triangle, la somme des trois angles vaut toujours 180°. C'est 360° pour un tour complet (ou pour les angles d'un quadrilatère), pas pour un triangle. 90° correspond seulement à un angle droit.

2. Pour qu'un triangle existe, la longueur de son plus grand côté doit être...

   • A.égale à la somme des deux autres côtés
   • B.inférieure à la somme des deux autres côtésBonne réponse
   • C.supérieure à la somme des deux autres côtés
   • D.le double du plus petit côté

   Réponse : B — inférieure à la somme des deux autres côtés

   C'est l'inégalité triangulaire : le plus grand côté doit être strictement inférieur à la somme des deux autres, sinon les côtés ne se rejoignent pas. S'il est égal, le triangle est plat (points alignés). S'il est supérieur, le triangle est impossible.

3. Combien mesure chaque angle d'un triangle équilatéral ?

   • A.90°
   • B.45°
   • C.60°Bonne réponse
   • D.30°

   Réponse : C — 60°

   Un triangle équilatéral a ses trois angles égaux. Comme leur somme vaut 180°, chacun mesure 180 ÷ 3 = 60°. Répondre 90°, ce serait l'angle droit ; 45°, c'est la moitié d'un angle droit. Aucun de ces angles ne donnerait une somme de 180° avec trois angles identiques.

4. Au maximum, combien d'angles droits un triangle peut-il avoir ?

   • A.2
   • B.1Bonne réponse
   • C.3
   • D.0

   Réponse : B — 1

   Un triangle ne peut avoir qu'un seul angle droit. En effet, deux angles droits feraient déjà 90 + 90 = 180°, et il ne resterait plus rien pour le troisième angle : impossible. Un triangle peut avoir zéro angle droit, mais la question demande le maximum, qui est 1.

5. Dans un triangle, deux angles mesurent 50° et 60°. Combien mesure le troisième angle ?

   • A.110°
   • B.80°
   • C.70°Bonne réponse
   • D.60°

   Réponse : C — 70°

   Le troisième angle = 180° − (50° + 60°) = 180° − 110° = 70°. Répondre 110°, c'est donner la somme des deux angles connus sans la soustraire à 180°. Vérification : 50 + 60 + 70 = 180. Cohérent.

6. Peut-on construire un triangle dont les côtés mesurent 5 cm, 6 cm et 8 cm ?

   • A.Non, car 5 + 6 est plus petit que 8
   • B.Non, car 8 est plus grand que 6
   • C.Non, c'est toujours impossible avec ces nombres
   • D.Oui, car 8 est plus petit que 5 + 6Bonne réponse

   Réponse : D — Oui, car 8 est plus petit que 5 + 6

   Le plus grand côté est 8 cm. La somme des deux autres vaut 5 + 6 = 11 cm. Comme 8 < 11, l'inégalité triangulaire est respectée : le triangle existe. Le fait que 8 soit plus grand que 6 (option 2) n'empêche rien : c'est normal qu'un côté soit le plus grand.

7. Dans un triangle isocèle, l'angle au sommet mesure 40°. Combien mesure chacun des deux angles à la base ?

   • A.70°Bonne réponse
   • B.40°
   • C.140°
   • D.100°

   Réponse : A — 70°

   Les deux angles à la base sont égaux. Ensemble avec l'angle au sommet, ils font 180°. Donc chaque angle à la base vaut (180° − 40°) ÷ 2 = 140° ÷ 2 = 70°. Répondre 140°, c'est oublier de diviser par 2 (140° serait la somme des deux angles à la base). Vérification : 40 + 70 + 70 = 180.

8. Dans un triangle rectangle, un des angles aigus mesure 30°. Combien mesure l'autre angle aigu ?

   • A.150°
   • B.60°Bonne réponse
   • C.30°
   • D.90°

   Réponse : B — 60°

   Dans un triangle rectangle, l'angle droit vaut 90°. Les deux angles aigus se partagent le reste : 180° − 90° = 90°. Donc le second angle aigu vaut 90° − 30° = 60°. Répondre 150°, c'est faire 180 − 30 en oubliant l'angle droit. Vérification : 90 + 30 + 60 = 180.

9. On donne trois longueurs : 4 cm, 5 cm et 9 cm. Que peut-on dire du triangle qu'elles formeraient ?

   • A.Il est équilatéral, puisque ses trois côtés auraient exactement la même mesure
   • B.Il est rectangle, car le carré du plus grand côté égalerait la somme des carrés des deux autres
   • C.Il est "plat" : les points sont alignés, ce n'est pas un vrai triangleBonne réponse
   • D.Il est isocèle, car deux de ses trois côtés auraient alors la même longueur

   Réponse : C — Il est "plat" : les points sont alignés, ce n'est pas un vrai triangle

   Le plus grand côté est 9 cm, et la somme des deux autres vaut 4 + 5 = 9 cm. Comme le plus grand côté est EXACTEMENT égal à la somme des deux autres, les trois points sont alignés : le triangle est plat, il n'existe pas vraiment. C'est le cas limite de l'inégalité triangulaire.

10. Dans un triangle, deux angles mesurent 90° et 45°. Combien mesure le troisième angle ?

    • A.45°Bonne réponse
    • B.90°
    • C.135°
    • D.30°

    Réponse : A — 45°

    Le troisième angle = 180° − (90° + 45°) = 180° − 135° = 45°. Ce triangle est à la fois rectangle (un angle de 90°) et isocèle (deux angles de 45°). Répondre 135°, c'est donner la somme des deux angles connus sans la retrancher à 180°.

11. Un triangle isocèle a ses deux angles à la base qui mesurent 55° chacun. Combien mesure l'angle au sommet ?

    • A.55°
    • B.110°
    • C.70°Bonne réponse
    • D.125°

    Réponse : C — 70°

    Les deux angles à la base font 55 + 55 = 110°. L'angle au sommet vaut donc 180° − 110° = 70°. Répondre 110°, c'est donner la somme des deux angles à la base au lieu de la retrancher à 180°. Vérification : 55 + 55 + 70 = 180.

12. Deux côtés d'un triangle mesurent 6 cm et 9 cm. Laquelle de ces longueurs est possible pour le troisième côté ?

    • A.2 cm
    • B.3 cm
    • C.16 cm
    • D.10 cmBonne réponse

    Réponse : D — 10 cm

    Le troisième côté doit être compris entre la différence (9 − 6 = 3 cm) et la somme (9 + 6 = 15 cm), sans atteindre ces bornes. Seul 10 cm est strictement entre 3 et 15 : c'est donc la seule valeur possible. 2 cm est trop petit, 16 cm trop grand, et 3 cm donnerait un triangle plat.