Les aires
Sixième · Maths · Grandeurs et mesures
Grandeurs et mesures
Calculer une aire
L'aire d'une figure mesure la surface qu'elle occupe : la place à l'intérieur du contour. On la mesure en unités carrées (cm², m²…), car on compte combien de petits carrés remplissent la figure. Attention à ne pas la confondre avec le périmètre, qui mesure le contour !
| Figure | Formule de l'aire | Exemple |
|---|---|---|
| Carré (côté c) | A = c × c | c = 5 → A = 25 cm² |
| Rectangle (Longueur L, largeur l) | A = L × l | 6 × 4 = 24 cm² |
| Triangle (base b, hauteur h) | A = (b × h) / 2 | (6 × 4) / 2 = 12 cm² |
Grandeurs et mesures
Unités d'aire et figures composées
Comme pour les longueurs, il existe plusieurs unités d'aire. Mais attention : entre deux unités d'aire voisines, on multiplie ou divise par 100 (et non par 10), car une aire, c'est deux dimensions multipliées ! C'est la même idée que pour le périmètre et l'aire d'un carré agrandi : une figure a toujours deux dimensions, donc tout changement d'échelle sur les longueurs se répercute deux fois sur l'aire.
Les unités d'aire
Pourquoi 100 et pas 10 ? Parce que 1 m = 10 dm, donc 1 m² = 1 m × 1 m = 10 dm × 10 dm = 100 dm². Le facteur 10 des longueurs se retrouve deux fois dans l'aire, une fois pour chaque dimension : 10 × 10 = 100. C'est pour la même raison que si on double le côté d'un carré, son aire n'est pas doublée mais multipliée par 2 × 2 = 4 : un carré de 3 cm de côté a une aire de 3 × 3 = 9 cm², alors qu'un carré de 6 cm de côté, dont le côté est deux fois plus grand, a une aire de 6 × 6 = 36 cm², soit quatre fois plus et non deux fois plus. Entre m² et km² (trois colonnes d'écart), il faut donc multiplier trois fois par 100, soit par 1 000 000, et non par 300.
| Unité | Vaut… | En m² |
|---|---|---|
| 1 km² | 1 000 000 m² | 1 000 000 m² |
| 1 hectare (ha) = 1 hm² | 100 ares | 10 000 m² |
| 1 are (a) = 1 dam² | 100 m² | 100 m² |
| 1 m² | 100 dm² = 10 000 cm² | 1 m² |
Les figures composées
Cette méthode fonctionne parce que les morceaux ne se chevauchent pas : l'aire totale est simplement la somme des aires de chaque morceau, sans rien compter deux fois. Elle s'applique à toute figure qu'on peut découper en rectangles ou en triangles ; si un morceau est enlevé (comme un trou), on additionne d'abord la grande figure, puis on soustrait la partie manquante plutôt que de tenter un découpage impossible autour du trou.
Exemple mené jusqu'au bout, avec une conversion d'unité : une pièce rectangulaire de 4 m sur 3 m est carrelée avec des dalles carrées de 50 cm de côté, soit 0,5 m. Dans la longueur, on place 4 ÷ 0,5 = 8 dalles ; dans la largeur, 3 ÷ 0,5 = 6 dalles. Le nombre total de dalles est 8 × 6 = 48. On peut vérifier avec les aires : l'aire de la pièce est 4 × 3 = 12 m², l'aire d'une dalle est 0,5 × 0,5 = 0,25 m², et 12 ÷ 0,25 = 48 — les deux méthodes indépendantes donnent bien le même résultat, ce qui confirme le calcul.
Exercices corrigés
Quelle est l'aire d'un rectangle de 6 cm de longueur et 4 cm de largeur ?
- A.10 cm²
- B.20 cm²
- C.24 cm²Bonne réponse
- D.48 cm²
Réponse : C — 24 cm²
L'aire d'un rectangle vaut A = L × l = 6 × 4 = 24 cm². Répondre 20 cm² donne le périmètre (2 × (6 + 4)), et 10 cm² est la simple somme 6 + 4 : deux erreurs classiques.
Quelle est l'aire d'un carré de côté 5 cm ?
- A.25 cm²Bonne réponse
- B.20 cm²
- C.10 cm²
- D.5 cm²
Réponse : A — 25 cm²
L'aire d'un carré vaut A = c × c = 5 × 5 = 25 cm². Répondre 20 cm² (4 × 5) donne le périmètre, pas l'aire. L'aire se compte en cm² car c'est une surface.
Quelle est l'aire d'un rectangle de 10 cm sur 3 cm ?
- A.13 cm²
- B.26 cm²
- C.30 cm²Bonne réponse
- D.300 cm²
Réponse : C — 30 cm²
A = L × l = 10 × 3 = 30 cm². Répondre 26 cm² donne le périmètre (2 × (10 + 3)), et 13 cm² est la somme 10 + 3. Toujours multiplier pour l'aire d'un rectangle.
Quelle est l'aire d'un carré de côté 7 cm ?
- A.49 cm²Bonne réponse
- B.28 cm²
- C.14 cm²
- D.21 cm²
Réponse : A — 49 cm²
A = c × c = 7 × 7 = 49 cm². Répondre 28 cm² (4 × 7) donne le périmètre, et 14 cm² (2 × 7) n'a pas de sens ici. Pour l'aire d'un carré, on multiplie le côté par lui-même.
Quelle est l'aire d'un triangle de base 6 cm et de hauteur 4 cm ?
- A.24 cm²
- B.12 cm²Bonne réponse
- C.10 cm²
- D.48 cm²
Réponse : B — 12 cm²
A = (base × hauteur) / 2 = (6 × 4) / 2 = 24 / 2 = 12 cm². L'erreur classique est d'oublier le « ÷ 2 » et de répondre 24 cm² : mais un triangle a la moitié de l'aire du rectangle correspondant.
Quelle est l'aire d'un rectangle de 12 cm sur 5 cm ?
- A.17 cm²
- B.34 cm²
- C.30 cm²
- D.60 cm²Bonne réponse
Réponse : D — 60 cm²
A = L × l = 12 × 5 = 60 cm². Répondre 34 cm² donne le périmètre (2 × (12 + 5)), et 17 cm² la somme 12 + 5. Ces confusions aire/périmètre sont les plus fréquentes.
Quelle est l'aire d'un carré de côté 8 cm ?
- A.64 cm²Bonne réponse
- B.32 cm²
- C.16 cm²
- D.24 cm²
Réponse : A — 64 cm²
A = c × c = 8 × 8 = 64 cm². Répondre 32 cm² (4 × 8) donne le périmètre, et 16 cm² (2 × 8) est une erreur. On multiplie toujours le côté par lui-même pour l'aire d'un carré.
Un rectangle mesure 5 cm sur 2 cm. Quelle est son AIRE (attention, pas son périmètre) ?
- A.14 cm²
- B.10 cm²Bonne réponse
- C.7 cm²
- D.20 cm²
Réponse : B — 10 cm²
L'aire vaut A = L × l = 5 × 2 = 10 cm². Le piège de l'énoncé est le mot « périmètre » : le périmètre serait 2 × (5 + 2) = 14 cm, mais on demande bien l'aire. Il faut multiplier, pas additionner le tour.
Quelle est l'aire d'un triangle de base 10 cm et de hauteur 3 cm ?
- A.30 cm²
- B.13 cm²
- C.25 cm²
- D.15 cm²Bonne réponse
Réponse : D — 15 cm²
A = (base × hauteur) / 2 = (10 × 3) / 2 = 30 / 2 = 15 cm². Répondre 30 cm² oublie le « ÷ 2 ». Le triangle occupe la moitié du rectangle de mêmes base et hauteur.
Un rectangle a une aire de 24 cm² et une largeur de 4 cm. Quelle est sa longueur ?
- A.4 cm
- B.96 cm
- C.6 cmBonne réponse
- D.20 cm
Réponse : C — 6 cm
Comme A = L × l, on retrouve la longueur en divisant l'aire par la largeur : L = 24 ÷ 4 = 6 cm. Vérification : 6 × 4 = 24 cm². Répondre 96 cm reviendrait à multiplier (24 × 4) au lieu de diviser.
On part d'un rectangle de 10 cm sur 6 cm et on lui enlève un coin rectangulaire de 4 cm sur 3 cm. Quelle est l'aire de la figure obtenue ?
- A.48 cm²Bonne réponse
- B.60 cm²
- C.72 cm²
- D.12 cm²
Réponse : A — 48 cm²
Aire du grand rectangle : 10 × 6 = 60 cm². Aire du coin enlevé : 4 × 3 = 12 cm². Aire de la figure : 60 − 12 = 48 cm². Pour une figure composée, on découpe, puis on soustrait le morceau enlevé.
À combien de cm² correspondent 3 m² ?
- A.300 cm²
- B.30 000 cm²Bonne réponse
- C.3 000 cm²
- D.300 000 cm²
Réponse : B — 30 000 cm²
1 m² = 10 000 cm², donc 3 m² = 3 × 10 000 = 30 000 cm². Répondre 300 cm² utiliserait par erreur le facteur 100 (celui des longueurs), au lieu de 10 000 pour les aires.
S'entraîner sur ce chapitre
Ce chapitre compte 38 exercices corrigés dans l'application, avec le suivi de ta progression.
Commencer les exercices