La division
Sixième · Maths · Nombres et calculs
Nombres et calculs
La division euclidienne
Diviser, c'est partager en parts égales ou chercher combien de fois un nombre est contenu dans un autre. Quand on ne peut pas partager exactement, il reste des unités « en trop » : c'est le reste. Cette division avec un reste s'appelle la division euclidienne, et elle ne travaille qu'avec des nombres entiers.
Le vocabulaire de la division
| Mot | Rôle | Exemple : 47 = 5 × 9 + 2 |
|---|---|---|
| Dividende | le nombre que l'on partage | 47 |
| Diviseur | le nombre de parts (ou la taille des parts) | 5 |
| Quotient | le résultat entier de la division | 9 |
| Reste | ce qui reste, plus petit que le diviseur | 2 |
Nombres et calculs
Divisibilité et division décimale
Certaines divisions « tombent juste » : le reste est nul. On dit alors que le dividende est un multiple du diviseur, ou que le diviseur est un diviseur du dividende. Des astuces appelées critères de divisibilité permettent de le deviner sans poser l'opération, utiles pour simplifier une fraction ou répartir des objets en groupes égaux sans essayer plusieurs diviseurs au hasard.
Cette relation vient de l'écriture générale de toute division euclidienne : dividende = diviseur × quotient + reste, avec un reste toujours strictement inférieur au diviseur, et jamais négatif. Quand ce reste vaut 0, l'égalité devient dividende = diviseur × quotient : c'est exactement la définition d'un multiple, sans rien de plus à vérifier.
Les critères de divisibilité
| Divisible par… | Critère | Exemple |
|---|---|---|
| 2 | le chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8 (nombre pair) | 54 (finit par 4) |
| 5 | le chiffre des unités est 0 ou 5 | 70 et 35 |
| 10 | le chiffre des unités est 0 | 250 (finit par 0) |
| 3 | la somme des chiffres est un multiple de 3 | 123 (1+2+3 = 6) |
| 9 | la somme des chiffres est un multiple de 9 | 4518 (4+5+1+8 = 18) |
Pourquoi ça marche ? 10, 100, 1 000… laissent toujours un reste de 1 quand on les divise par 3 ou par 9. La divisibilité par 3 ou par 9 ne dépend donc que de la somme des chiffres, pas de leur position dans le nombre — c'est ce qui rend le critère si rapide à utiliser. Il n'existe pas de critère aussi simple pour 7 ou pour 8 : dans ces cas, il faut poser la division. On peut aussi combiner deux critères pour en tester un troisième : un nombre divisible à la fois par 2 et par 3 est automatiquement divisible par 6, car 6 = 2 × 3 et 2 et 3 n'ont aucun facteur commun. C'est le cas de 54 : il est pair et 5 + 4 = 9 est un multiple de 3, donc 54 est aussi divisible par 6.
La division décimale
Ajouter des zéros après la virgule au dividende ne change pas sa valeur : 15 s'écrit aussi 15,000…, exactement comme 15 = 15,0. C'est ce qui permet de continuer la division sans changer le nombre de départ. On choisit la division décimale quand l'énoncé demande un résultat exact, entier ou non ; on choisit la division euclidienne, avec son reste, quand la situation impose un résultat entier — répartir des personnes, des objets ou des paquets, par exemple, où un reste de « 0,75 personne » n'aurait pas de sens.
Exemple mené jusqu'au bout, dans l'autre sens : un nombre divisé par 8 donne un quotient de 25 et un reste de 6. On retrouve ce nombre avec la relation dividende = diviseur × quotient + reste : 8 × 25 + 6 = 200 + 6 = 206. Ce nombre n'est pas divisible par 8, puisque le reste de sa division par 8 vaut 6, et non 0.
Exercices corrigés
Dans la division euclidienne de 38 par 5, quel est le reste ?
- A.7
- B.8
- C.3Bonne réponse
- D.2
Réponse : C — 3
On cherche combien de fois 5 tient dans 38 : 5 × 7 = 35 et 5 × 8 = 40 (trop grand). Le quotient est donc 7, et le reste vaut 38 − 35 = 3. On écrit 38 = 5 × 7 + 3, avec 3 < 5. Attention : 7, c'est le quotient, pas le reste !
Parmi ces nombres, lequel est divisible par 5 ?
- A.34
- B.51
- C.23
- D.70Bonne réponse
Réponse : D — 70
Un nombre est divisible par 5 quand son chiffre des unités est 0 ou 5. Seul 70 se termine par 0 : 70 = 5 × 14. Les autres (34, 51, 23) ne finissent ni par 0 ni par 5, ils ne sont donc pas divisibles par 5.
Combien vaut le quotient de la division exacte de 42 par 7 ?
- A.5
- B.6Bonne réponse
- C.7
- D.8
Réponse : B — 6
On cherche par combien multiplier 7 pour obtenir 42 : 7 × 6 = 42. Le quotient est donc 6, et le reste vaut 0 (la division tombe juste). Vérifie : 7 × 6 = 42, exactement le dividende.
Parmi ces nombres, lequel est divisible par 2 ?
- A.37
- B.71
- C.19
- D.54Bonne réponse
Réponse : D — 54
Un nombre est divisible par 2 (on dit qu'il est pair) quand son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8. Seul 54 se termine par un chiffre pair (4) : 54 = 2 × 27. Les autres finissent par 7, 1 ou 9 : ce sont des nombres impairs.
Quel est le quotient et le reste de la division euclidienne de 89 par 6 ?
- A.quotient 14 et reste 5Bonne réponse
- B.quotient 13 et reste 11
- C.quotient 14 et reste 6
- D.quotient 15 et reste 1
Réponse : A — quotient 14 et reste 5
6 × 14 = 84 et 6 × 15 = 90 (trop grand) : le quotient est 14. Reste : 89 − 84 = 5, bien inférieur à 6. Donc 89 = 6 × 14 + 5. L'option « reste 11 » est fausse car un reste doit être plus petit que le diviseur 6 ; « reste 6 » est fausse pour la même raison.
Quel est le quotient décimal de 15 divisé par 4 ?
- A.3,45
- B.3,5
- C.3,75Bonne réponse
- D.3,15
Réponse : C — 3,75
4 × 3 = 12, reste 3. On place la virgule et on abaisse un zéro (reste 30) : 4 × 7 = 28, reste 2. On abaisse un zéro (reste 20) : 4 × 5 = 20, reste 0. Donc 15 ÷ 4 = 3,75. Vérification : 4 × 3,75 = 15. Exact !
Une division euclidienne a pour diviseur 7, quotient 8 et reste 3. Quel est le dividende ?
- A.56
- B.78
- C.24
- D.59Bonne réponse
Réponse : D — 59
On utilise l'égalité a = b × q + r : dividende = 7 × 8 + 3 = 56 + 3 = 59. Vérification : 59 = 7 × 8 + 3, avec 3 < 7. L'erreur classique est d'oublier d'ajouter le reste (on obtient 56).
Dans une division euclidienne par 6, lequel de ces restes est IMPOSSIBLE ?
- A.0
- B.4
- C.5
- D.6Bonne réponse
Réponse : D — 6
Le reste est toujours strictement plus petit que le diviseur : ici il doit être compris entre 0 et 5. Un reste de 6 est donc impossible, car si 6 « rentre » encore une fois, on doit augmenter le quotient. Les restes possibles pour une division par 6 sont 0, 1, 2, 3, 4 et 5.
Une maîtresse range 154 cahiers en paquets de 12. Combien de paquets complets peut-elle faire, et combien de cahiers reste-t-il ?
- A.12 paquets et il reste 10 cahiersBonne réponse
- B.13 paquets et il reste 2 cahiers
- C.12 paquets et il reste 12 cahiers
- D.11 paquets et il reste 22 cahiers
Réponse : A — 12 paquets et il reste 10 cahiers
12 × 12 = 144 et 12 × 13 = 156 (trop grand) : on peut faire 12 paquets complets. Reste : 154 − 144 = 10 cahiers. Donc 154 = 12 × 12 + 10. Un reste de 12 serait impossible (il ferait un paquet de plus), et 13 paquets demanderaient 156 cahiers.
On veut ranger 250 livres sur des étagères contenant chacune 18 livres. Combien d'étagères faut-il au minimum pour tout ranger ?
- A.13
- B.15
- C.14Bonne réponse
- D.12
Réponse : C — 14
18 × 13 = 234, reste 250 − 234 = 16 : 13 étagères sont pleines et il reste 16 livres. Ces 16 livres ont besoin d'une 14e étagère. Il faut donc 14 étagères. Piège classique : le reste n'est pas nul, il faut ajouter une étagère au quotient 13, sinon 16 livres restent par terre !
Entre quels entiers consécutifs se trouve le résultat de 3 000 divisé par 7 ?
- A.entre 428 et 429Bonne réponse
- B.entre 427 et 428
- C.entre 429 et 430
- D.entre 420 et 421
Réponse : A — entre 428 et 429
7 × 428 = 2 996 et 7 × 429 = 3 003. Comme 2 996 < 3 000 < 3 003, le quotient de 3 000 par 7 est compris entre 428 et 429 (la division euclidienne donne quotient 428, reste 4). Pour encadrer, il suffit de trouver les deux multiples de 7 qui entourent 3 000.
Un nombre divisé par 8 donne un quotient de 25 et un reste de 6. Quel est ce nombre, et est-il divisible par 8 ?
- A.200, non divisible par 8
- B.250, non divisible par 8
- C.206, divisible par 8
- D.206, non divisible par 8Bonne réponse
Réponse : D — 206, non divisible par 8
On applique a = b × q + r : 8 × 25 + 6 = 200 + 6 = 206. Ce nombre n'est PAS divisible par 8, car son reste vaut 6 (différent de 0). Un nombre n'est divisible par 8 que lorsque le reste est nul. Vérification : 206 = 8 × 25 + 6, avec 6 < 8.
S'entraîner sur ce chapitre
Ce chapitre compte 37 exercices corrigés dans l'application, avec le suivi de ta progression.
Commencer les exercices