Triangles et quadrilatères

Espace et géométrie

Les triangles particuliers

Un triangle est une figure fermée à trois côtés et trois sommets. Certains triangles ont des propriétés spéciales sur leurs côtés ou leurs angles : ce sont les triangles particuliers, à connaître par cœur. Repérer qu'un triangle est isocèle, équilatéral ou rectangle permet de déduire d'autres informations sans avoir à tout mesurer : par exemple, si l'on sait qu'un triangle est isocèle, on connaît aussitôt l'égalité de deux angles, même sans rapporteur. On identifie un triangle particulier soit à partir des longueurs données dans l'énoncé, soit grâce aux codages tracés sur la figure (petits traits sur les côtés égaux, petit carré pour l'angle droit).

Ces propriétés s'expliquent par la symétrie de la figure. Un triangle isocèle possède un axe de symétrie qui passe par le sommet où se rejoignent les deux côtés égaux et par le milieu du troisième côté : cet axe échange les deux côtés égaux entre eux, et donc aussi les deux angles à la base, qui doivent forcément être égaux. Le triangle équilatéral, lui, cumule trois fois cette symétrie : c'est pour cela qu'il est isocèle de trois manières différentes à la fois, et que ses trois angles valent chacun 60°, puisque leur somme fait toujours 180° dans un triangle.

Cette construction fonctionne grâce à la même propriété que pour tracer un cercle : le compas garde un écartement fixe, donc tous les points situés sur l'arc tracé depuis B sont à la même distance de B. Le sommet A doit être à la fois à cette distance de B et de C : il se trouve donc forcément à l'intersection des deux arcs. On utilise cette méthode quand on connaît la longueur des côtés mais pas la position exacte du troisième sommet ; si le triangle est équilatéral, les deux arcs s'ouvrent à la même longueur que la base.

Espace et géométrie

Les quadrilatères particuliers

Un quadrilatère est une figure fermée à quatre côtés et quatre sommets. On étudie surtout trois quadrilatères particuliers : le rectangle, le losange et le carré. Ces trois figures ont beaucoup en commun : elles ont toutes quatre côtés et quatre sommets, mais elles se distinguent par leurs angles et la longueur de leurs côtés. Connaître leurs propriétés permet de reconnaître une figure sans la mesurer entièrement, en vérifiant seulement quelques angles ou quelques longueurs bien choisis.

Ces trois définitions se complètent : un carré vérifie à la fois la condition du rectangle (les angles) et celle du losange (les côtés), ce qui explique pourquoi il appartient aux deux familles en même temps. À l'inverse, un rectangle qui n'a pas ses quatre côtés égaux n'est pas un losange, et un losange dont les angles ne sont pas droits n'est pas un rectangle : il faut toujours vérifier les deux conditions séparément, jamais déduire l'une à partir de l'autre.

Ces propriétés sur les diagonales viennent directement des côtés et des angles : dans un rectangle, la symétrie entre les deux moitiés de la figure fait que les diagonales ont toujours la même longueur ; dans un losange, cette même symétrie rend les diagonales perpendiculaires. Elles servent aussi dans l'autre sens, comme une carte d'identité de la figure : si les diagonales d'un quadrilatère sont à la fois perpendiculaires, de même longueur, et se coupent en leur milieu, alors ce quadrilatère est nécessairement un carré, puisqu'il réunit alors la propriété du rectangle et celle du losange en même temps.

Exemple mené jusqu'au bout : un quadrilatère ABCD a ses quatre côtés égaux (c'est donc un losange, avec (AB) parallèle à (DC) et (AD) parallèle à (BC)) et un angle droit en A, donc (AB) perpendiculaire à (AD). Comme (AB) est parallèle à (DC) et perpendiculaire à (AD), la droite (AD) est aussi perpendiculaire à (DC) : l'angle en D est donc droit. De même, comme (AD) est parallèle à (BC) et perpendiculaire à (AB), la droite (AB) est aussi perpendiculaire à (BC) : l'angle en B est droit. Les quatre angles sont donc droits, et ABCD est un carré : un seul angle droit suffit, dans un losange, pour entraîner tous les autres.

Erreur fréquente : croire qu'un losange est toujours un carré, sous prétexte que ses côtés sont égaux. Ce n'est vrai que si ses angles sont aussi droits ; sinon, c'est un losange « penché », sans être un carré. Vérifier un seul critère — seulement les côtés, ou seulement les angles — ne suffit donc jamais à conclure qu'une figure est un carré : il faut toujours vérifier les deux en même temps.