Les nombres entiers

Nombres et calculs

Lire, écrire et décomposer les nombres entiers

Les nombres entiers sont les nombres qui servent à compter : 0, 1, 2, 3, 4… Ils n'ont ni virgule ni partie décimale. Pour les lire et les écrire sans se tromper, on s'appuie sur la numération de position : la valeur d'un chiffre dépend de la place qu'il occupe dans le nombre. Ce principe permet d'écrire n'importe quel nombre, aussi grand soit-il, avec seulement dix chiffres : c'est beaucoup plus économique qu'un système où chaque quantité aurait son propre symbole, comme les chiffres romains.

Chiffre ou nombre ?

Cette distinction n'est pas qu'un détail de vocabulaire : elle sert dès qu'un énoncé demande le « chiffre des dizaines » plutôt que le « nombre » lui-même, ou inversement. Confondre les deux mots fait perdre des points sur des questions par ailleurs très simples, alors qu'il suffit de bien identifier ce qui est demandé avant de répondre.

Le tableau de numération

On regroupe les chiffres par classes de trois (unités, mille, millions, milliards), en laissant un petit espace entre chaque classe. Dans chaque classe, on retrouve les centaines, les dizaines et les unités.

Le nombre du tableau se lit : trois-cent-cinq-mille-huit-cent-vingt-quatre, soit 305 824. Chaque chiffre a une valeur différente selon sa colonne : le 3 vaut 300 000, alors que le 3… n'apparaît qu'une fois ici !

Grouper les chiffres par trois facilite la lecture d'un grand nombre : en repérant le nombre d'espaces entre le début et la fin de l'écriture, on connaît directement son ordre de grandeur (mille, million, milliard) sans avoir besoin de compter un par un tous les chiffres qui le composent.

Attention à ne pas confondre le chiffre des dizaines d'un nombre et le nombre de dizaines qu'il contient. Dans 6 253, le chiffre des dizaines est 5. Mais le nombre de dizaines contenues dans 6 253, c'est-à-dire le nombre de paquets de 10 que l'on peut y compter, vaut 625 (on l'obtient en cachant le chiffre des unités). De la même façon, le nombre de centaines contenues dans 6 253 vaut 62 (on cache alors les deux derniers chiffres). Ce genre de question, fréquent en évaluation, se résout toujours de la même manière : on masque autant de chiffres, en partant de la droite, que l'unité choisie compte de zéros.

Nombres et calculs

Comparer, ranger, encadrer et arrondir

Savoir comparer deux nombres, les ranger dans l'ordre, les encadrer ou les arrondir est utile tout le temps : pour comparer des prix, estimer un total, lire un graphique. Tout repose sur la position des chiffres.

Ces règles reposent sur la manière dont on écrit les nombres : chaque position vaut dix fois la position juste à sa droite (unités, dizaines, centaines, milliers…). Un nombre avec un chiffre de plus a donc au moins une position supplémentaire qui vaut beaucoup plus que tous les chiffres du nombre le plus court réunis : c'est pourquoi 1 000, avec quatre chiffres, dépasse forcément 999, qui n'en a que trois, même si 999 semble « presque » aussi grand.

Ranger dans l'ordre

Ranger dans l'ordre croissant, c'est aller du plus petit au plus grand. Ranger dans l'ordre décroissant, c'est aller du plus grand au plus petit (comme une descente). On choisit l'ordre croissant pour classer des prix du moins cher au plus cher, ou l'ordre décroissant pour un classement sportif, du premier au dernier. Ranger une liste, c'est appliquer la méthode de comparaison à chaque paire de nombres voisins : on repère d'abord le plus petit (ou le plus grand), on le place, puis on recommence avec les nombres restants. L'erreur la plus fréquente est d'oublier un nombre en cours de rangement, ou de comparer seulement les premiers chiffres sans vérifier tout le nombre quand deux nombres commencent pareil.

Encadrer et arrondir

Encadrer un nombre, c'est le placer entre deux nombres, l'un plus petit, l'autre plus grand. Par exemple, 2 748 est encadré par les centaines : 2 700 < 2 748 < 2 800. Encadrer sert à donner rapidement un ordre de grandeur, sans connaître le nombre exact : c'est utile pour vérifier si un résultat de calcul est plausible. On choisit le rang de l'encadrement selon la précision voulue : encadrer aux centaines donne un ordre de grandeur plus large qu'encadrer aux dizaines. Arrondir va plus loin : au lieu de donner les deux bornes, on choisit celle des deux qui est la plus proche du nombre de départ.

La règle du chiffre 5 est une convention : à mi-chemin entre deux arrondis possibles, il fallait choisir un camp, et les mathématiciens ont décidé d'arrondir vers le haut. On arrondit chaque fois qu'on a besoin d'une estimation rapide, plus facile à retenir ou à comparer qu'un nombre précis ; pour un calcul qui doit être exact, comme rendre la monnaie, on n'arrondit jamais. L'erreur la plus fréquente est de regarder plusieurs chiffres à la fois au lieu d'un seul : pour arrondir 4 728 à la centaine, seul le chiffre des dizaines (2) compte, peu importe que le chiffre des unités (8) soit grand.