La multiplication

Nombres et calculs

Multiplier : produits et facteurs

Multiplier, c'est additionner plusieurs fois le même nombre. Par exemple, 4 × 3 signifie « 4 fois 3 », c'est-à-dire 3 + 3 + 3 + 3 = 12. La multiplication est un raccourci très utile pour les additions répétées. On utilise la multiplication chaque fois qu'on doit additionner plusieurs fois le même nombre : par exemple, pour connaître le prix de 6 paquets à 3 euros, plutôt que d'écrire 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3, on calcule directement 6 × 3 = 18. Si les nombres à additionner ne sont pas tous identiques, la multiplication ne s'applique pas : il faut alors les additionner un par un, ou chercher une autre méthode.

Bien connaître ses tables

Poser une multiplication en colonnes permet de multiplier deux grands nombres à partir des tables de multiplication à un chiffre, en décomposant le calcul en plusieurs étapes plus simples. Cette méthode est surtout utile quand les nombres sont trop grands pour un calcul mental direct ; pour de petits nombres bien connus par cœur, comme 7 × 8, il est inutile de poser l'opération. L'erreur la plus fréquente concerne les retenues : il faut penser à les ajouter au produit suivant, et ne jamais oublier le 0 de décalage à la deuxième ligne, qui indique qu'on multiplie maintenant par des dizaines et non plus par des unités.

Nombres et calculs

Multiplier par 10, 100, 1000, et astuces de calcul

Multiplier par 10, 100 ou 1000 est très rapide grâce à notre numération de position. Certaines astuces, comme la distributivité, permettent aussi de calculer de gros produits de tête, sans poser l'opération ni sortir la calculatrice.

Pourquoi ça marche ? Dans notre numération, chaque chiffre vaut 10 fois plus dès qu'il se décale d'un rang vers la gauche : les unités deviennent des dizaines, les dizaines des centaines. Multiplier par 10 revient donc à décaler chaque chiffre d'un rang, ce qui revient exactement à déplacer la virgule d'un rang vers la droite. C'est pour cela que « ajouter un 0 » ne fonctionne que pour un nombre entier : pour un décimal, le zéro qu'on croit ajouter est en réalité déjà occupé par des chiffres après la virgule, qu'il faut simplement décaler. Cette règle s'applique uniquement aux puissances de 10 (10, 100, 1000…) ; pour multiplier par un autre nombre rond comme 20 ou 300, il faut d'abord multiplier par le chiffre non nul (2 ou 3), puis décaler la virgule du nombre de zéros restants.

Cette astuce fonctionne parce que la multiplication se répartit sur une somme ou une différence, ce qui permet de remplacer un facteur peu commode par deux facteurs faciles à multiplier de tête. Elle est surtout utile quand un facteur est proche d'un nombre rond (100, 1 000…) ; pour deux facteurs sans nombre rond à proximité, comme 47 × 38, la décomposition n'apporte pas grand-chose et il vaut mieux poser l'opération. Une autre astuce consiste à changer l'ordre des facteurs et à les regrouper comme on veut, pour faire apparaître un nombre rond : 2 × 17 × 5 se calcule plus vite en commençant par 2 × 5, soit 2 × 17 × 5 = (2 × 5) × 17 = 10 × 17 = 170, plutôt qu'en multipliant 2 par 17 d'abord.

Multiplier des nombres décimaux

Pourquoi compter les chiffres après la virgule fonctionne ? 2,5 vaut 25 divisé par 10, et 0,4 vaut 4 divisé par 10. Leur produit vaut donc (25 × 4) divisé par (10 × 10), soit 100 ÷ 100 = 1 : chaque chiffre après la virgule correspond à une division par 10 supplémentaire, qu'il faut « rendre » à la fin. Exemple mené jusqu'au bout : 3,2 × 0,5. Sans les virgules, 32 × 5 = 160 ; il y a 1 + 1 = 2 chiffres après la virgule au départ, donc le résultat s'écrit avec 2 chiffres après la virgule : 1,60, soit 1,6.

Exemple mené jusqu'au bout, avec un décimal de la vie courante : un stylo coûte 4,2 €, combien coûtent 3 stylos ? Sans la virgule, 3 × 42 = 126 ; il y a 1 chiffre après la virgule dans 4,2, donc le résultat en a aussi 1 : 12,6 €. Autre exemple, avec l'astuce du nombre rond : une salle a 18 rangées de 25 chaises. Comme 25 = 100 ÷ 4, on calcule 18 × 25 = 18 × 100 ÷ 4 = 1 800 ÷ 4 = 450 chaises — plus rapide de tête que de poser directement 18 × 25.