Droites parallèles et perpendiculaires
Sixième · Maths · Espace et géométrie
Espace et géométrie
Reconnaître et coder les droites
Deux droites tracées sur une feuille peuvent occuper trois positions différentes : se croiser, se croiser en formant un angle droit, ou ne jamais se croiser. Savoir les reconnaître et les coder proprement est la base de toute la géométrie du collège.
Deux droites perpendiculaires sont donc un cas particulier de droites sécantes : elles se coupent, mais avec un angle droit. En revanche, deux droites parallèles ne se coupent jamais, même si on les prolonge très loin.
| Position | Points communs | Notation | Codage sur la figure |
|---|---|---|---|
| Sécantes | Un seul | (aucune) | Rien de spécial |
| Perpendiculaires | Un seul (angle droit) | (d) ⊥ (d') | Un petit carré à l'intersection |
| Parallèles | Aucun | (d) // (d') | Une même flèche (ou marque) sur chaque droite |
Espace et géométrie
Les propriétés et la distance à une droite
Une fois qu'on sait reconnaître les droites parallèles et perpendiculaires, on utilise des propriétés qui les relient. Elles permettent de démontrer que des droites sont parallèles ou perpendiculaires sans avoir à les mesurer, ce qui est indispensable dès que la figure n'est pas tracée à l'échelle ou qu'elle est trop grande pour être vérifiée à l'équerre.
On applique la Propriété 1 quand on connaît deux perpendicularités à une même troisième droite, et qu'on cherche une relation entre les deux autres. On applique la Propriété 2 quand on connaît déjà un parallélisme et une perpendicularité, et qu'on cherche une nouvelle perpendicularité. Ces deux propriétés ne suffisent pas toujours : pour relier deux droites parallèles à une même troisième droite, il existe une troisième propriété : si (a) // (b) et (b) // (c), alors (a) // (c). Autrement dit, deux droites parallèles à une même droite sont parallèles entre elles. On peut d'ailleurs la retrouver en enchaînant les deux propriétés précédentes : traçons une droite (d) perpendiculaire à (a) ; comme (a) // (b), la Propriété 2 donne (d) ⊥ (b), et comme (b) // (c), elle donne encore (d) ⊥ (c) ; les droites (a) et (c) sont alors toutes les deux perpendiculaires à (d), donc parallèles entre elles d'après la Propriété 1.
Exemple mené jusqu'au bout, en chaînant deux propriétés : on sait que (d1) // (d2), que (d3) ⊥ (d2), et que (d4) ⊥ (d3). Quelle est la position de (d4) par rapport à (d1) ? D'abord, (d1) // (d2) et (d3) ⊥ (d2) : d'après la Propriété 2, (d3) ⊥ (d1). Ensuite, (d3) ⊥ (d1) et (d4) ⊥ (d3) : les droites (d1) et (d4) sont toutes les deux perpendiculaires à (d3), donc d'après la Propriété 1, (d4) // (d1). Une démonstration se construit ainsi étape par étape, une propriété à la fois, jamais en devinant la conclusion finale directement.
Une seule perpendiculaire, une seule parallèle
Ces deux propriétés sont vraies même quand le point est très proche ou très éloigné de la droite : on ne peut jamais tracer deux parallèles différentes à (d) passant par le même point, ni deux perpendiculaires différentes. Cela sert à justifier qu'une construction est la seule possible : si on a déjà trouvé une droite parallèle à (d) passant par A, inutile d'en chercher une autre, il n'y en a pas d'autre.
La distance d'un point à une droite
Pour aller d'un point M à une droite (d), le chemin le plus court est le segment perpendiculaire à (d). Sa longueur s'appelle la distance du point M à la droite (d).
Pourquoi MH est-il toujours le plus court chemin ? Tout autre point P de (d) forme, avec M et H, un triangle rectangle en H. Or dans un triangle rectangle, l'hypoténuse (le côté opposé à l'angle droit) est toujours le côté le plus long. Le segment MP « en biais » joue ici le rôle de l'hypoténuse : il est donc forcément plus long que MH. Cette propriété s'applique à n'importe quel point P différent de H ; pour P = H lui-même, la distance est bien sûr nulle, mais alors P n'est plus « en biais ».
Exercices corrigés
Que signifie le symbole // entre deux droites ?
- A.Elles sont perpendiculaires
- B.Elles sont sécantes
- C.Elles sont parallèlesBonne réponse
- D.Elles sont égales
Réponse : C — Elles sont parallèles
Le symbole // signifie « parallèles » : les deux droites n'ont aucun point commun. Le symbole de la perpendicularité, lui, est ⊥. Ne confonds pas les deux !
Deux droites perpendiculaires se coupent en formant un angle de :
- A.90°Bonne réponse
- B.60°
- C.45°
- D.180°
Réponse : A — 90°
Perpendiculaires veut dire que les droites se coupent en formant un angle droit, c'est-à-dire un angle de 90°. Un angle de 180° correspondrait à une droite « plate », pas à un croisement.
Sur une figure, comment code-t-on un angle droit à l'intersection de deux droites ?
- A.Avec un point rouge
- B.Avec une flèche
- C.Avec une croix
- D.Avec un petit carréBonne réponse
Réponse : D — Avec un petit carré
Un petit carré dessiné au point d'intersection signale un angle droit : les droites sont donc perpendiculaires. Les flèches (ou marques) identiques, elles, servent à coder le parallélisme.
On sait que (d1) ⊥ (d3) et (d2) ⊥ (d3). Que peut-on dire de (d1) et (d2) ?
- A.Elles sont perpendiculaires
- B.Elles sont sécantes
- C.Elles sont parallèlesBonne réponse
- D.On ne peut rien dire
Réponse : C — Elles sont parallèles
Deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles entre elles. Comme (d1) et (d2) sont toutes les deux perpendiculaires à (d3), on conclut : (d1) // (d2).
Sur une figure, deux droites portent chacune la même petite flèche. Que cela signifie-t-il ?
- A.Elles sont parallèlesBonne réponse
- B.Elles sont perpendiculaires
- C.Elles ont la même longueur
- D.Elles se coupent en un point
Réponse : A — Elles sont parallèles
Des marques (flèches) identiques sur deux droites codent le parallélisme : les droites sont parallèles. L'angle droit, lui, se code avec un petit carré. Et une droite n'a pas de « longueur », elle est infinie.
Un point M est à 5 cm d'une droite (d). Un point P de (d) est relié à M « en biais » : la longueur MP vaut alors :
- A.Exactement 5 cm
- B.Moins de 5 cm
- C.Toujours 10 cm
- D.Plus de 5 cmBonne réponse
Réponse : D — Plus de 5 cm
La distance 5 cm est mesurée sur la perpendiculaire : c'est le plus court chemin de M à (d). Tout autre segment reliant M à un point de (d), donc « en biais », est forcément plus long que 5 cm.
Deux droites qui n'ont aucun point commun sont :
- A.Sécantes
- B.Perpendiculaires
- C.Confondues
- D.ParallèlesBonne réponse
Réponse : D — Parallèles
Si deux droites ne se coupent jamais, même prolongées à l'infini, elles n'ont aucun point commun : elles sont parallèles. Sécantes et perpendiculaires ont au contraire un point commun.
Quel instrument utilise-t-on pour vérifier ou tracer un angle droit ?
- A.Le compas
- B.L'équerreBonne réponse
- C.Le rapporteur
- D.La calculatrice
Réponse : B — L'équerre
L'équerre possède un angle droit : c'est l'outil idéal pour tracer ou vérifier des droites perpendiculaires. Le compas sert à tracer des cercles, le rapporteur à mesurer des angles quelconques.
Combien de points communs ont deux droites sécantes ?
- A.Aucun
- B.Un seulBonne réponse
- C.Deux
- D.Une infinité
Réponse : B — Un seul
Deux droites sécantes se coupent en exactement un point, appelé point d'intersection. Aucun point commun correspondrait à des droites parallèles ; une infinité, à deux droites confondues (la même droite).
On sait que (d1) // (d2) et que (d3) ⊥ (d1). Que peut-on dire de (d3) et (d2) ?
- A.(d3) ⊥ (d2)Bonne réponse
- B.(d3) // (d2)
- C.(d3) et (d2) sont confondues
- D.On ne peut rien dire
Réponse : A — (d3) ⊥ (d2)
Si deux droites sont parallèles, toute droite perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre. Comme (d3) ⊥ (d1) et (d1) // (d2), on obtient (d3) ⊥ (d2).
Par un point A extérieur à une droite (d), combien peut-on tracer de droites parallèles à (d) ?
- A.Aucune
- B.Une seuleBonne réponse
- C.Deux
- D.Une infinité
Réponse : B — Une seule
Par un point donné, il passe une seule droite parallèle à une droite donnée. C'est une propriété d'unicité : impossible d'en tracer deux différentes, et il en existe toujours une.
La distance d'un point M à une droite (d) est la longueur du segment :
- A.Le plus long entre M et (d)
- B.Reliant M à un point quelconque de (d)
- C.Parallèle à (d) passant par M
- D.Perpendiculaire à (d), du point M jusqu'à (d)Bonne réponse
Réponse : D — Perpendiculaire à (d), du point M jusqu'à (d)
La distance d'un point à une droite se mesure sur la perpendiculaire : c'est le plus court chemin de M vers (d). Le point où cette perpendiculaire touche (d) s'appelle le pied H, et la distance vaut MH.
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