La symétrie axiale
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Espace et géométrie
Comprendre et construire un symétrique
La symétrie axiale, c'est la symétrie « par pliage » : deux figures sont symétriques par rapport à une droite (l'axe) si, en pliant la feuille le long de cette droite, elles se superposent exactement. C'est le même principe que ton reflet dans un miroir.
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Propriétés et axes de symétrie des figures
La symétrie axiale a une qualité précieuse : elle conserve tout (longueurs, angles, aires…). Une figure et son symétrique sont identiques, seulement retournées. Certaines figures possèdent même leurs propres axes de symétrie.
Pourquoi la symétrie conserve-t-elle tout cela ? Parce qu'elle fonctionne comme un pliage : chaque point et son symétrique se trouvent à la même distance de l'axe, de part et d'autre. Comme cette distance est préservée pour absolument tous les points de la figure, aucune longueur, aucun angle et aucune aire ne peut changer : la figure obtenue est un décalque exact de la figure de départ, seulement retournée comme dans un miroir.
Ce que la symétrie conserve
| Élément de départ | Son symétrique | Ce qui est conservé |
|---|---|---|
| Un segment de 5 cm | Un segment de 5 cm | La longueur |
| Un angle de 40° | Un angle de 40° | La mesure de l'angle |
| Un triangle d'aire 12 cm² | Un triangle d'aire 12 cm² | L'aire |
| Un cercle de rayon 3 cm | Un cercle de rayon 3 cm | Le rayon (et le périmètre) |
Une nuance importante : si toutes les mesures sont conservées, l'orientation, elle, est inversée. La figure obtenue a exactement la même forme et la même taille que celle de départ, mais on ne peut pas la faire glisser sur l'autre en la laissant à plat : il faut la retourner, comme une main droite qui devient une main gauche dans un miroir. C'est bien le pliage, c'est-à-dire un retournement, qui fait coïncider les deux figures.
Les axes de symétrie d'une figure
Une droite est un axe de symétrie d'une figure si, en pliant la figure le long de cette droite, les deux moitiés se superposent. Une figure peut avoir zéro, un, ou plusieurs axes de symétrie.
Le nombre d'axes dépend de la régularité de la figure. Un carré a ses quatre côtés égaux et ses quatre angles égaux : il possède à la fois les médiatrices de ses côtés et ses diagonales comme axes, soit 4 au total. Un rectangle non carré, lui, a des côtés de longueurs différentes : ses médiatrices restent des axes, mais ses diagonales ne le sont plus, car plier selon une diagonale n'envoie pas un sommet exactement sur le sommet opposé. Le même raisonnement s'applique aux triangles : le triangle équilatéral a ses trois côtés égaux, donc ses trois médiatrices sont aussi des axes, ce qui donne 3 axes. Le triangle isocèle non équilatéral n'a que deux côtés égaux : un seul axe subsiste, celui qui passe par le sommet principal et le milieu du côté opposé.
Prenons un exemple concret : un rectangle de 6 cm sur 4 cm, plié le long d'une de ses diagonales. Le sommet d'un angle ne tombe pas exactement sur le sommet opposé, car les côtés voisins n'ont pas la même longueur : le pliage laisse un décalage. C'est justement ce qui distingue le rectangle du carré, où les quatre côtés égaux permettent au contraire à ce même pliage de fonctionner parfaitement, sans aucun décalage. Pour une figure quelconque dont on n'est pas sûr, la seule méthode fiable reste donc de tester chaque droite candidate par un pliage réel ou imaginé, plutôt que de se fier à une impression de régularité.
Exercices corrigés
Le symétrique d'un point M situé sur l'axe (d) est :
- A.Impossible à trouver
- B.Le centre de l'axe
- C.Un point à 1 cm de M
- D.Le point M lui-mêmeBonne réponse
Réponse : D — Le point M lui-même
Un point situé sur l'axe ne bouge pas : son symétrique est lui-même (M' = M). En effet, il est à distance 0 de l'axe, donc son image reste au même endroit.
M' est le symétrique de M par rapport à (d). Que peut-on dire de la droite (d) par rapport au segment [MM'] ?
- A.Elle est parallèle à [MM']
- B.Elle passe par M seulement
- C.Elle est la médiatrice de [MM']Bonne réponse
- D.Elle est plus courte que [MM']
Réponse : C — Elle est la médiatrice de [MM']
Par définition, l'axe (d) est la médiatrice du segment [MM'] : elle est perpendiculaire à [MM'] ET passe par son milieu. C'est cette double condition qui garantit que M et M' sont bien symétriques.
Un point M est à 3 cm de l'axe (d). À quelle distance de (d) se trouve son symétrique M' ?
- A.3 cmBonne réponse
- B.1,5 cm
- C.6 cm
- D.0 cm
Réponse : A — 3 cm
Le symétrique se trouve de l'autre côté de l'axe, à la même distance : si M est à 3 cm de (d), alors M' est aussi à 3 cm de (d). L'axe passe par le milieu de [MM'].
La symétrique d'un angle de 55° est un angle de :
- A.35°
- B.55°Bonne réponse
- C.110°
- D.125°
Réponse : B — 55°
La symétrie axiale conserve les mesures d'angles : l'image d'un angle de 55° est un angle de 55°. La figure est retournée, mais les angles ne changent pas.
Combien d'axes de symétrie possède un cercle ?
- A.Une infinité d'axes de symétrieBonne réponse
- B.2 axes, comme dans un rectangle
- C.4 axes, comme dans un carré
- D.1 axe, comme un triangle isocèle
Réponse : A — Une infinité d'axes de symétrie
Toute droite passant par le centre d'un cercle est un axe de symétrie : comme il en existe une infinité, le cercle a une infinité d'axes de symétrie. C'est la figure la plus symétrique.
Un triangle équilatéral possède :
- A.1 axe de symétrie
- B.2 axes de symétrie
- C.3 axes de symétrieBonne réponse
- D.Aucun axe de symétrie
Réponse : C — 3 axes de symétrie
Le triangle équilatéral a 3 axes de symétrie, un par sommet : chaque axe passe par un sommet et le milieu du côté opposé. Un triangle isocèle non équilatéral, lui, n'en a qu'un.
Sur une figure, A' est le symétrique de A par rapport à (d). On sait que la distance de A à (d) est 4 cm. Quelle est la longueur du segment [AA'] ?
- A.2 cm
- B.4 cm
- C.16 cm
- D.8 cmBonne réponse
Réponse : D — 8 cm
L'axe passe par le milieu de [AA'] et A' est à la même distance que A, soit 4 cm de l'autre côté. La longueur totale AA' vaut donc 4 + 4 = 8 cm. Répondre 4 cm oublie que A' est de l'autre côté à la même distance.
Un parallélogramme quelconque (ni rectangle, ni losange) possède :
- A.1 axe de symétrie
- B.2 axes de symétrie
- C.Aucun axe de symétrieBonne réponse
- D.4 axes de symétrie
Réponse : C — Aucun axe de symétrie
Un parallélogramme quelconque n'a aucun axe de symétrie : aucun pliage ne superpose ses deux moitiés. Il possède un centre de symétrie (symétrie centrale), mais ça, c'est une autre notion. Ne te laisse pas piéger par son allure « régulière ».
On construit le symétrique B' de B par rapport à (d), mais on place B' plus loin de l'axe que B. Qu'est-ce qui est faux ?
- A.Rien, la construction est correcte
- B.[BB'] doit être parallèle à (d)
- C.B' doit être du même côté que B
- D.B et B' doivent être à la même distance de l'axeBonne réponse
Réponse : D — B et B' doivent être à la même distance de l'axe
Dans une symétrie axiale, le point et son image sont à la même distance de l'axe (qui passe par le milieu de [BB']). Placer B' plus loin casse cette égalité : la construction est fausse. B' doit aussi être de l'autre côté de l'axe, et [BB'] doit être perpendiculaire (pas parallèle) à (d).
Une figure a exactement 1 axe de symétrie. Parmi ces figures, laquelle correspond ?
- A.Un carré, à quatre côtés égaux
- B.Un triangle isocèle non équilatéralBonne réponse
- C.Un rectangle non carré, à angles droits
- D.Un cercle, une figure toute ronde
Réponse : B — Un triangle isocèle non équilatéral
Le triangle isocèle non équilatéral a exactement 1 axe de symétrie : la médiatrice de sa base (qui passe par le sommet principal). Le carré en a 4, le rectangle non carré 2, et le cercle une infinité. Seul le triangle isocèle correspond donc à un unique axe.
La symétrie axiale se fait par rapport à :
- A.Un point
- B.Un cercle
- C.Une droite (l'axe)Bonne réponse
- D.Un angle
Réponse : C — Une droite (l'axe)
La symétrie axiale se fait par rapport à une droite appelée axe : c'est la symétrie « par pliage » ou « en miroir ». La symétrie par rapport à un point existe aussi, mais elle s'appelle symétrie centrale (vue plus tard).
On peut se représenter la symétrie axiale comme :
- A.Un reflet dans un miroirBonne réponse
- B.Une réduction
- C.Un agrandissement
- D.Une rotation d'un quart de tour
Réponse : A — Un reflet dans un miroir
La symétrie axiale, c'est l'effet d'un miroir posé le long de l'axe : la figure et son image sont identiques, mais retournées. Elle ne change ni la taille (donc pas d'agrandissement ni de réduction) ni l'orientation par rotation.
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